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相关试卷

1、某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由 $Rt △ A B F$ ，直角梯形 $B C E F$ 和以 $C$ 为圆心的四分之一圆弧 $E D$ 构成，其中 $A B ⊥ B F$ ， $B C ⊥ C E$ ， $B F ∥ C E$ ，且 $C E = 2$ ， $A B = \frac{7}{2}$ ， $B C = B F = 1$ ，将平面图形 $A D E F$ 以 $A D$ 所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花.

(1)、求该烟花的体积；

(2)、工厂准备将矩形 $P M N Q$ （该矩形内接于图形 $B D E F$ ， M在弧 $D E$ 上，N在线段 $E F$ 上， $P Q$ 在 $A D$ 上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设 $∠ M C E = θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{3}$ ）.
①请用 $θ$ 表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系 $t = \frac{V}{(9 - 7 \cos θ) \cos^{2} θ}$ ，请计算这个烟花燃烧的最长时间.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B C D$ 是正方形， $E, F, G$ 分别是 $P C, P D, B C$ 的中点．

(1)、求证：直线 $A B / /$ 平面 $E F G$ ．

(2)、求证：平面 $P A B / /$ 平面 $E F G$ ．

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3、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，其中 $\vec{b} = (2, - 1), \vec{c} = (1, - 2)$ ．

(1)、若向量 $\vec{a}$ 为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求向量 $\vec{a}$ ；

(2)、若向量 $\vec{a} = (t, 3)$ ，向量 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ 与向量 $\vec{b} + 2 \vec{c}$ 共线，求 $t$ ．

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4、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} = b^{2} + b c$ ，则 $\frac{c}{b} + \frac{2}{{cos}^{2} B}$ 的取值范围为．

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5、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为4，则该正四面体外接球的体积为．

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6、“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为 $3 \sqrt{2}$ 的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（）

A、该“十字贯穿体”有22个顶点 B、该“十字贯穿体”的表面积是 $32 \sqrt{2}$ C、该“十字贯穿体”的体积是 $\frac{56 \sqrt{2}}{3}$ D、一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 $\frac{16}{3}$

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7、已知 $△ A B C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ B、 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足关系 $A + B = 2 C$ C、 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ D、 $△ A B C$ 的中线 $C D$ 的长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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8、已知复数z，则下列说法正确的是（）

A、若 $|z| = 1$ ，则 $z = \pm 1$ B、若 $z = \pm 1$ ，则 $|z| = 1$ C、若 $z - i \in R$ ，则 $z$ 的虚部为1 D、若 $|z| = 1$ ，则 $1 \leq |z + 2 i| \leq 3$

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9、函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) (1 < x < 4)$ 的图象与 $x$ 轴交于点A，过点A的直线 $l$ 与函数的图象交于点 $B 、 C$ 两点，则 $(\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{O A} =$ （　　）

A、 $\frac{25}{2}$ B、 $\frac{25}{4}$ C、 $\frac{25}{8}$ D、25

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10、如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体 $B C D E - H G J I$ 与直三棱柱 $A B H - F E I$ 的组合体，且 $△ A B H$ 为等腰直角三角形，则直线 $A H$ 与直线 $I G$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11、已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则正四棱锥的侧面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、8 C、 $16 \sqrt{3}$ D、32

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12、如图，已知等腰直角三角形 $O^{'} A^{'} B^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'}$ 是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边 $O^{'} B^{'} = 2$ ，则这个平面图形的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、如图在△ABC， $\overset{⃑}{A N} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{N C}$ ， P是BN上的一点，若 $\overset{⃑}{A P} = m \overset{⃑}{A B} + \frac{2}{11} \overset{⃑}{A C}$ ，则实数m的值为（）

A、 $\frac{5}{11}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{11}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、复数 $\frac{i}{2 - i} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{2}{5} + \frac{1}{5} i$

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15、若 $\vec{a}$ ＝（1，2）， $\vec{b}$ ＝（x，4），若 $\vec{a}$ // $\vec{b}$ ，则实数x＝（　　）

A、8 B、－2 C、2 D、－8

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16、设非零向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k})$ ， $\vec{b_{k}} = (y_{k}, - x_{k})$ ，并定义 $\{\begin{array}{l} x_{k + 2} = \vec{a_{k + 1}} \cdot \vec{a_{k}} \\ y_{k + 2} = \vec{b_{k + 1}} \cdot \vec{a_{k}} \end{array}$ .

(1)、若 $\vec{a_{1}} = (2, - 1)$ ， $\vec{a_{2}} = (0, 2)$ ，求 $|\vec{a_{3}}|$ ；

(2)、写出 $|\vec{a_{k}}|$ ， $|\vec{a_{k + 1}}|$ ， $|\vec{a_{k + 2}}|$ 之间的等量关系，并证明；

(3)、若 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ 为单位向量，求证：集合 $\{\vec{a_{k}} | k \in N^{*}\}$ 是有限集.

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17、已知 $f (x) = \frac{k \cdot 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 为奇函数，且定义域为 $(- 1, 1)$ ， $g (x) = 4^{x} + t \cdot 2^{x + 1} + 1 - t$ .

(1)、求 $k$ 的值，判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明；

(2)、若 $f (2 - a) > f (a^{2} - 4)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在两个不相等的实数 $m$ ， $n (m, n \in (- 1, 1))$ ，使 $f (m) + f (n) = 0$ ，且 $g (m) + g (n) \geq 0$ .求实数 $t$ 的取值范围.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 对应的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a (cos C + \sqrt{3} sin C) = b + c$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、当边 $B C$ 与边 $B C$ 上的中线长均为2时，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{c}{b}$ 的取值范围.

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19、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ 和 $B C$ 上的动点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{B N} = μ \vec{B C} (λ, μ \in (0, 1))$ .

(1)、若 $λ = \frac{2}{3}$ ， $μ = \frac{1}{3}$ ，请用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{A N}$ ；

(2)、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ， $A N$ 与 $D M$ 相交于点 $G$ ，求 $\frac{|\vec{A G}|}{|\vec{A N}|}$ 的值；

(3)、若 $λ + μ = 1$ ，求 $\vec{A N} \cdot \vec{D M}$ 的取值范围.

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20、已知复数 $z_{1} = 2 + (a - 1) i$ ， $z_{2} = 1 + i (a \in R)$ .

(1)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是实数，求 $a$ 的值；

(2)、若复数 $(z_{1} + z_{2}) \cdot \bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $a$ 的取值范围.

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