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相关试卷

1、折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形 $O C D$ 为一把折扇展开后的平面图，其中 $∠ C O D = \frac{2 π}{3}$ ， $O C = O D = 1$ ，点 $M$ 在弧 $C D$ 上（包括端点）运动，其中 $E$ ， $F$ 分别是 $O C$ ， $O D$ 的中点，则 $\vec{M E} \cdot \vec{M F}$ 的范围为.

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2、《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形 $A B C D E F G H$ ．其中 $O$ 为正八边形的中心，若 $O A = 1$ ，点 $P$ 为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为1 B、 $\vec{O A} - \vec{E F} = \vec{O F}$ C、 $\vec{G D} = 2 \vec{A B}$ D、 $\vec{O A} + \vec{O C} = \sqrt{3} \vec{O B}$

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3、已知函数 $y = f (x)$ 及其导数 $y = f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x) + f (x) \geq 2 x$ 对一切 $x \in R$ 恒成立.

(1)、若 $m$ ， $b \in R$ ， $f (x) = m x + b$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $y = f (x)$ 是二次函数，求 $f (0)$ 的取值范围；

(3)、若 $y = f (x)$ 同时满足 $f^{'} (x) + f (x) \leq 2 x + 1$ 对一切 $x \in R$ 恒成立且 $f (0) = 0$ ，证明：函数 $y = f (x)$ 没有最大值，但是有最小值.[提示：一个在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小值一定存在.］

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ ， $x \in (- \infty, - 1]$ 其中 $a > 0$ ， $b \in R$ .

(1)、曲线 $y = f (x)$ 在 $(- 2, - 1)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 5$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的极值点；

(3)、当 $a^{2} = 4 b$ 时，若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, - 1]$ 上的最大值为 $1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{3} = 6$ ，且对任意的 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n} + 3$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $c_{n} = [lg b_{n}], [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求 $\{c_{n}\}$ 的前350项和 $T_{350}$ .

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 sin x + 2$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (ln x + x^{2} - a x) + f (e^{x} - 2 ln x) \geq 4$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的最大值为．

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7、若随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (1 \leq X \leq 3) = a$ ， $P (X \geq 5) = b$ ，则 $\frac{3 a + 4 b}{2 a b}$ 的最小值为

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} (x - a)$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有交点 B、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处有极大值 C、存在 $a > 0$ ，使得 $(1, - 1)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、当 $a = 3$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = - x^{2} + 4 x + m$ 在 $[0, + \infty)$ 上有两个交点，则 $m \in (- 8, 0]$

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9、某母牛养殖基地有 $A$ 品种牛126头、 $B$ 品种牛84头、 $C$ 品种牛42头，根据发展需要，拟用分层抽样的方法，从这252头牛中抽取12头向外出售，则下列说法正确的是（）

A、12头牛中 $A$ 品种牛、 $B$ 品种牛、 $C$ 品种牛的数量分别为6头、4头、2头 B、客户甲从向外出售的12头牛中的 $B$ 品种牛、 $C$ 品种牛中随机挑选4头，则这4头中至少含有3头 $B$ 品种牛的概率为 $\frac{4}{5}$ C、客户乙从向外出售的12头牛中的 $A$ 品种牛、 $B$ 品种牛中依次不放回地随机挑选3头，已知第1次挑选出的是 $B$ 品种牛，则第3次挑选出的是 $A$ 品种牛的概率为 $\frac{2}{3}$ D、客户丙从向外出售的12头牛中的 $A$ 品种牛、 $C$ 品种牛中随机挑选 $A$ 品种牛 $m$ 头、 $C$ 品种牛1头的概率为 $\frac{15}{28}$ ，则 $m = 3$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足递推关系 $e^{a_{n}} - 1 = a_{n} e^{a_{n + 1}}$ ，且 $a_{1} > 0$ ，若存在等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n + 1} \leq a_{n} \leq b_{n}$ ，则 $\{b_{n}\}$ 公比 $q$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{π}$

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11、某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（）

A、 $\frac{80}{243}$ B、 $\frac{25}{81}$ C、 $\frac{70}{243}$ D、 $\frac{20}{81}$

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12、对于 $x > 0$ ， $e^{2 λ x} - \frac{1}{λ} \ln \sqrt{x} \geq 0$ 恒成立，则正数 $λ$ 的范围是（）

A、 $λ \geq \frac{1}{e}$ B、 $λ \geq \frac{1}{2 e}$ C、 $λ \geq 2 e$ D、 $λ \geq e$

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13、已知 $△ A B C$ 的面积为1，取 $△ A B C$ 各边的中点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 作 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，然后再取 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各边的中点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 作 $△ A_{2} B_{2} C_{2}, \dots$ 依此方法一直继续下去.记 $△ A_{n} B_{n} C_{n} (n \in N^{*})$ 的面积为 $a_{n}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 为常数列 B、数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 为递增数列 C、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为递减数列 D、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为递增数列

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14、通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示：
跳绳
性别
合计
男
女
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x_α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
则以下结论正确的是（）

A、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C、根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关

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15、若直线 $2 x - t y - 2 = 0 (t \in R)$ 与 $x + 2 y + 3 = 0$ 垂直，则 $t =$ ．

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16、若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上总存在两个点到点 $(a, 1)$ 的距离为3，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 2 \sqrt{6}, 2 \sqrt{6})$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- 2 \sqrt{6}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{6})$

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17、已知事件 $A, B$ ，且 $P (A) = 0.4, P (B) = 0.5$ ，则（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件 B、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ C、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A B) = 0.2$ D、若 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.3$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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18、Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 $L = L_{0} D^{\frac{G}{G_{0}}}$ ，其中L表示每一轮优化时使用的学习率， $L_{0}$ 表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数， $G_{0}$ 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）
（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）

A、14 B、15 C、16 D、17

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19、一般地，设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $x \in D$ ，都有 $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形.已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 2}, g (x) = {log}_{3} (a x^{2} + x + a)$ .

(1)、计算 $f (2 - x) + f (x)$ 的值，并求 $f (x)$ 的对称中心.

(2)、若函数 $g (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

(3)、若 $a = 1$ ，将区间 $(0, 2)$ 分成 $2 n$ 等分，记等分点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2 n - 1}$ ，问：是否存在正整数 $n$ ，使得不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{2 n - 1}) \leq g (x) + g (\frac{1}{x})$ 对任意 $x \in (0, 2)$ 恒成立？若存在，求出所有 $n$ 的值；若不存在，说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ .

(1)、求 $f ({log}_{2} 5) + f ({log}_{\frac{1}{2}} 5)$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、设关于 $x$ 的方程 $f (9^{x} + k) + f (1 - 4 \cdot 3^{x}) = 0$ 有两个不同的实根，求 $k$ 的取值范围.

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跳绳	性别		合计
跳绳	男	女	合计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
合计	60	50	110

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x_α	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828