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相关试卷

1、若 $cos (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右顶点，不与 $x$ 轴垂直的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（不同于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ），且直线 $A_{1} P$ 的斜率等于直线 $A_{2} Q$ 的斜率的2倍，求证：直线 $l$ 经过定点．

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3、已知 $△ A B C$ 外接圆圆心为 $O$ ，半径为 $1$ ， $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，且 $\sqrt{3} |\vec{O A}| = |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为( )

A、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$

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4、已知函数 $f (x) = \cos x + \cos (x + \frac{π}{3})$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；
（3）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的值域.

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5、随机变量 $ξ \sim N (4, 2)$ ，若 $P (ξ > 2 a - 1) = P (ξ < a)$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、4

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6、以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：56、70、72、78、79、80、81、83、84、85、88、90、91、94、98，则这15人成绩的第60百分位数是．

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7、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) // \vec{a}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 12$ B、 $- 4$ C、4 D、12

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8、如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形， $P A$ 是四棱锥 $P - A B C D$ 的高，且 $P A = 3, E$ 是 $P A$ 的中点；

(1)、求证 $P C ∥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 和三棱锥 $C - B D E$ 的体积．

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9、在△ $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c ， c = 2 b, \sqrt{2} \sin A = 3 \sin B$ ．

(1)、求 $\sin C$ ；

(2)、若△ $A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ，求 $A B$ 边上的中线 $C D$ 的长．

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10、已知复数 $z = (2 m^{2} - 3 m - 2) + (m^{2} - 3 m + 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $m \in R$ .

(1)、若 $z$ 为实数，求 $m$ 的值；

(2)、若复数 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = x$ 上，求 $m$ 的值.

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11、定义两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的运算“ $\otimes$ ” $: \vec{a} \otimes \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| sin θ$ 与运算“ $\cdot$ ”： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos θ$ ，其中 $θ$ 是 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角.若 $|\vec{x}| = 16$ ， $|\vec{y}| = 1$ ， $\vec{x} \cdot \vec{y} = 8$ ，则 $\vec{x} \otimes \vec{y} =$ .

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12、若复数 $z = 1 + 2 i + 3 i^{2} + 4 i^{3} + 5 i^{4}$ ，则 $z$ 的虚部为.

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13、如图，在透明塑料制成的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 容器内灌进一些水，将容器底面一边 $B C$ 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（）

A、水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B、水面四边形 $E F G H$ 的面积不改变 C、棱 $A_{1} D_{1}$ 始终与 $F G$ 平行 D、当 $E \in A A_{1}$ 时， $A E + B F$ 是定值

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14、下列关于平面向量的说法中不正确的是（）

A、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，则 $A B C D$ 为平行四边形 C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若点G为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

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15、刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 $n$ 边形等分成 $n$ 个等腰三角形(如图所示)，当 $n$ 变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到 $\sin 1 °$ 的近似值为（）

A、 $\frac{π}{90}$ B、 $\frac{π}{180}$ C、 $\frac{π}{270}$ D、 $\frac{π}{60}$

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{12}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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17、若圆台的上底面面积与下底面面积分别为 $5 π, 20 π$ ，且圆台的体积为 $\frac{70}{3} π$ ，则该圆台的母线长为（）

A、6 B、 $\sqrt{42}$ C、3 D、 $\sqrt{21}$

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18、如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x (a \in R, a > 0)$ ，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、函数 $g (x) = \frac{x^{2} - 1 - \ln x}{x} - f (x)$ ，当实数 $a$ 取最大值时，是否存在整数 $t$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $g (x) \geq t$ 恒成立，若存在，请求出 $t$ 的最大值，若不存在，请说明理由；

(3)、已知 $n \in N^{*}$ 证明： $\ln n + \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n}) \leq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{2}$ ，且 $a_{n + 2} = \frac{a_{n + 1}^{2}}{a_{n} + a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ．
（1）求证：数列 $\{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\}$ 为等差数列；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（3）求下表中前n行所有数的和 $S_{n}$ .
$\frac{a_{1} a_{1}}{a_{2}}$
$\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}} \frac{a_{2} a_{1}}{a_{3}}$
……………………………
$\frac{a_{1} a_{n}}{a_{n + 1}} \frac{a_{2} a_{n - 1}}{a_{n + 1}} \dots \dots \frac{a_{n} a_{1}}{a_{n + 1}}$

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