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相关试卷

1、已知 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中共有7项.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、求 $(2 + x^{2}) {(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数.

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2、2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%.

(1)、根据所给数据，完成 $2 \times 2$ 列联表；
性别
满意度
合计
满意
不满意
男性

20

女性
40

合计

(2)、在（1）的条件下，依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程.

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4、已知函数 $f (x) = |a x + \frac{4}{x} - b| (a, b \in R)$ ，当 $x \in [1, 4]$ 时，设 $f (x)$ 的最大值为 $M (a, b)$ ，则 $M (a, b)$ 的最小值是．

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5、已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为 $A_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 8)$ ，经验回归方程为 $\hat{y} = - 2 x + \hat{a}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 40, \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = - 64$ ，则 $\hat{a} =$ .

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6、设 ${(2 x + 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .

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7、高考数学新课标I卷试题的第二部分为多选题，每题设有4个选项，其中正确选项的数量为2个或3个.若正确答案共2个选项，每选对1个得3分；若正确答案共3个选项，每选对1个得2分.需要注意的是，全部选对才能得6分，一旦选中任何错误选项，该题即得0分.张三对其中的某题完全不会，若该题共有三个正确选项的概率是 $\frac{2}{3}$ ，记X、Y、Z分别为张三随机选择1个、2个、3个选项的得分，则（）

A、 $P (X = 2) = \frac{1}{2}$ B、 $P (Y = 4) = P (X = 3) + P (Z = 6)$ C、 $E (Z) < E (Y) < E (X)$ D、 $D (Z) > D (Y) > D (X)$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 共有3个零点 B、 $f (x)$ 既存在极大值，也存在极小值 C、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{max} = \frac{6}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最大值为2 D、若函数 $y = f (x) - k$ 有2个零点，则 $k \in (- 2 e^{2}, 0] \cup \{\frac{6}{e^{2}}\}$

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9、下列结论正确的是（）

A、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B、在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C、两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 $r$ 的绝对值越接近于0 D、决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ 可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好

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10、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (- x + 1) + g (x + 1) = f (x + 2) - g (x) = 1$ ，且 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x + 1) + f^{'} (- x + 1) = 0$ ， $g (1) = - 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、2025 D、2026

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11、已知随机变量 $x, y (x > 0, y > 0)$ 呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设 $u = 3 ln y$ ， $v = {(4 x - 5)}^{2}$ ，利用最小二乘法，得到线性回归方程 $u = - \frac{1}{4} v + 3$ ，则变量 $y$ 的估计值有（）

A、最大值为 $e$ B、最小值为 $e$ C、最大值为 $e^{3}$ D、最小值为 $e^{3}$

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12、对于随机事件 $A$ 、 $B$ ，若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (A ∣ B) = \frac{1}{3}$ ， $P (B ∣ A) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (B) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{8}$

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13、某活动共包含 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 这5个环节，其中环节 $A$ 、 $B$ 必须相邻，环节 $C$ 、 $D$ 不能相邻，那么不同的安排方式一共有（）

A、12种 B、24种 C、36种 D、48种

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 10^{x}, x < 10, \\ lg x, x \geq 10, \end{array}$ 则 $f [f (100)] =$ （）

A、 $10^{10}$ B、100 C、2 D、1

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15、下列函数求导正确的是（）

A、 ${(2 ln x)}^{'} = \frac{2}{x}$ B、 ${(sin x)}^{'} = - cos x$ C、 ${(e^{2 x})}^{'} = 2 e^{x}$ D、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$

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16、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X < 0) = 0.2$ ，则 $P (X > 4) =$ （）

A、0.6 B、0.4 C、0.2 D、0.1

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17、下列函数中既是偶函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = - \frac{1}{x}$ C、 $y = - |x|$ D、 $y = x^{2}$

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18、某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ 分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率.

(1)、若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望；

(2)、求 $a_{n}$ 及其最大值；

(3)、已知 $x_{n} = |5 a_{n} - 1| \cdot 2^{n - 1}$ ， $y_{n} = 2 + 4 + \dots + 2 n$ ， $z_{n} = \{\begin{array}{l} \sqrt{2}, (n = 1), \\ \sqrt{y_{n}} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1}) + (\sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} + \dots + \sqrt{y_{n}}) x_{n}, (n \geq 2) . \end{array}$
若数列 $\{z_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < n (n + 2)$ .

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19、小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $I$ 上的连续函数，若 $\forall x_{1}$ 、 $x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $y = f (x)$ 为区间 $I$ 上的下凸函数．例如，函数 $y = x^{3}$ 在 $[0, + \infty)$ 上为下凸函数.通过查阅资料，小明同学了解到了琴生（Jensn）不等式：若 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，则对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{n} \in [a, b]$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立）．

(1)、已知 $g (x) = x^{3}$ 在 $[0, + \infty)$ 上为下凸函数，若 $a^{3} + b^{3} = 6 (a > 0, b > 0)$ ，求 $a + b$ 的最大值；

(2)、判断函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 在 $R$ 上是否是下凸函数，若是，请证明；若不是，请说明理由；

(3)、设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} = 1$ ，求 $W = \frac{- x_{1}}{1 + x_{1}} + \frac{- 2 x_{2}}{1 + x_{2}} + \frac{- 3 x_{3}}{1 + x_{3}} + \frac{- 4 x_{4}}{1 + x_{4}}$ 的最小值．

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20、人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 $\frac{1}{2}$ （先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立．

(1)、求首次试验结束的概率；

(2)、在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率．

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性别	满意度		合计
性别	满意	不满意	合计
男性		20
女性	40
合计

$α$	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828