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相关试卷

1、若 $P$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上异于 $A (- a, 0)$ ， $B (a, 0)$ 的动点，且直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积为5，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{5} x$ D、 $y = \pm 5 x$

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2、若复数 $z = \frac{i + a}{1 + i}$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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3、现将 $n$ 个编号 $1 ~ n$ 的小球随机地放入 $n$ 个外观、大小一样的编号也为 $1 ~ n$ 的盒子中，每个盒子中有且仅有一个小球．

(1)、 $n = 4$ 时，记小球编号与盒子编号相同的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、若 $3$ 号盒子中球的编号为 $6$ ， $6$ 号盒子中球的编号为 $5$ ， $5$ 号盒子中球的编号为 $3$ ，我们称编号 $3$ ， $5$ ， $6$ 的小球处于一个闭环中．如编号 $1 ~ 6$ 的盒子中放入的小球编号依次是 $1$ ， $4$ ， $6$ ， $2$ ， $3$ ， $5$ ，则共有 $3$ 个闭环，其中编号 $1$ 的小球是一个闭环．据此，当 $n = 6$ 时，回答下面两个问题：
①求恰有3个闭环的概率；
②某幼儿园组织 $6$ 名编号 $1 ~ 6$ 的小朋友玩游戏，每个小朋友选择 $3$ 个盒子打开，若这 $3$ 个盒子中有小球编号与自己编号一致，则认为游戏成功．每个小朋友在游戏过程中不能商量，且小朋友完成游戏后，由工作人员将盒子恢复原样，下一个小朋友再开始游戏．如果你是带队老师，在游戏开始前，帮小朋友们制定一个策略，使得所有小朋友都成功的概率大于 $\frac{1}{3}$ ，并证明．

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4、已知椭圆： $5 x^{2} + y^{2} = 5$ ， $A$ 为右顶点， $F$ 为下焦点，延长 $A F$ 交椭圆于另一点 $B$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、设椭圆在点 $B$ 处的切线为直线 $l$ ，求直线 $A B$ 与 $l$ 所夹锐角的正切值；

(3)、若直线 $n$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点（异于 $A$ ），使得 $∠ F A M = ∠ F A N$ ，求证：直线 $n$ 过定点．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积和周长分别为 $S$ ， $L$ ，且 $\cos A = \frac{3}{5}$ ．

(1)、若 $L = 3 a$ ， $b > c$ ，求 $B$ ；

(2)、若 $5 \cos C = 5 b - 3 c$ 且 $C \neq \frac{π}{2}$ ，求 $S$ 的最大值．

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $f (x) \geq x^{2}$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 总成立，求实数a的取值范围．

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7、如图，正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $\vec{S P} = 3 \vec{P D}$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ；

(2)、求异面直线 $S A$ 与 $C P$ 所成角的余弦值．

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8、已知向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $2 \vec{b}$ ，若 $|\vec{b}| = 1$ ，则向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 夹角余弦值的最小值为．

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9、已知9个数据的平均数为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这10个数据的方差为．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 2 n - 1$ ，则 $S_{7} =$ ．

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11、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点（含边界），则下列说法正确的是（）

A、使三棱锥 $F - A D_{1} E$ 体积取得最大值的点 $F$ 唯一 B、存在点 $F$ ，使得直线 $C_{1} F$ 与 $C_{1} E$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ C、 $D_{1} E ⊥ A F$ 时，点 $F$ 的轨迹是线段 D、 $D_{1} E / /$ 平面 $A_{1} C_{1} F$ 时，点 $F$ 的轨迹长为 $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$

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12、已知 $f (x) = a x^{2} + 2 \ln x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a \geq 0$ 时， $f (x)$ 有唯一的零点 B、 $a < 0$ 时， $f (x)$ 存在极小值 C、 $a < 0$ 时， $f (x)$ 存在极大值 D、若 $f (x) < 0$ ，则 $a$ 的范围为 $- \frac{1}{e} < a < 0$

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13、若 $6^{a} = 2$ ， $6^{b} = 3$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a + b = 1$ B、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$ C、 $a b < \frac{1}{4}$ D、 $a > \frac{1}{3}$

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14、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，点M是抛物线上的动点，则M到直线 $l_{1} : 4 x - 3 y + 5 = 0$ 和 $l_{2} : x = - 2$ 的距离之和的最小值为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{14}{5}$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{3 x + 1}{x} + e^{x} - e^{- x}$ ，定义域为R的函数 $g (x)$ 满足 $g (- x) + g (x) = 6$ ，若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象有四个交点，分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$ ， $(x_{4}, y_{4})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{4} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、0 B、4 C、8 D、12

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16、设函数 $f (x) = 2 sin(\frac{1}{2} x + φ) - 1$ ，若 $f (x)$ 在 $[0, 5 π]$ 内恰有3个零点，则 $φ$ 的取值不可以为（）

A、 $0$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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17、已知点 $P$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 上的动点，过点 $P$ 引圆 $C : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $P M$ ， $P N$ ， $M$ ， $N$ 为切点，当 $∠ M P N$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ 时， $r$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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18、某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表：

认为工作量大
认为工作量不大
合计
男士
40
20
60
女士
20
20
40
合计
60
40
100
若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（）
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

A、0.1 B、0.05 C、0.025 D、0.01

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19、已知复数z满足 $z (1 - i) = i$ ，则复数z对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、设全集 $M = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $A = \{1, 3\}$ ， $B = \{2\}$ ，则 $A \cup (∁_{M} B)$ 等于（）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 3, 4\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{1, 3\}$

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	认为工作量大	认为工作量不大	合计
男士	40	20	60
女士	20	20	40
合计	60	40	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.1	0.05	0.025	0.01	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828