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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 1 (a \neq 0)$ 在 $x = 1$ 处取到极大值1，则以下结论正确的是（）

A、 $3 a + 2 b + c = 0$ B、 $b = - 2 a$ C、 $a > 0$ D、 $f (x)$ 的极小值点为 $\frac{1}{3}$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2} + a_{3} = - 12$ ， $S_{11} = 11$ ，下列选项正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $2$ B、 $S_{n}$ 取最小值时， $n = 5$ C、 $S_{4} = S_{8}$ D、 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ 构成等差数列，且公差为 $2 n^{2}$

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3、在探究 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图所示：
$\begin{matrix} 第 0 行 & 1 \\ 第 1 行 & 1 & 1 \\ 第 2 行 & 1 & 2 & 1 \\ 第 3 行 & 1 & 3 & 3 & 1 \\ 第 4 行 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 第 5 行 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\ 第 6 行 & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 第 0 行 & 0 \\ 第 1 行 & 0 & 1 \\ 第 2 行 & 0 & 2 & 2 \\ 第 3 行 & 0 & 3 & 6 & 3 \\ 第 4 行 & 0 & 4 & 12 & 12 & 4 \\ 第 5 行 & 0 & 5 & 20 & 30 & 20 & 5 \\ 第 6 行 & 0 & 6 & 30 & 60 & 60 & 30 & 6 \end{matrix}$
如图，杨辉三角第 $6$ 行的 $7$ 个数依次为 $C_{6}^{0}$ ， $C_{6}^{1}$ ， $C_{6}^{2}$ ， $\dots$ ， $C_{6}^{5}$ ， $C_{6}^{6}$ .现将杨辉三角中第 $n (n \geq 1, n \in N^{*})$ 行的第 $r (1 \leq r \leq n + 1, r \in N^{*} n \in N^{*})$ 个数乘以 $(r - 1)$ ，第 $0$ 行的一个数为 $0$ ，得到一个新的三角数阵如图：在这个新的三角数阵中，第 $100$ 行的所有数的和为（）

A、 $99 \cdot 2^{100}$ B、 $100 \cdot 2^{100}$ C、 $100 \cdot 2^{99}$ D、 $99 \cdot 2^{99}$

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4、设 $a = \frac{sin \frac{π}{2025}}{\frac{π}{2025}}$ ， $b = 1.09$ ， $c = e^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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5、袋子中有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{3}{20}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{20}$

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6、若函数 $y = f (x)$ 的导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 与 $x = 1$ 处的瞬时增长率相同 B、 $y = f (x)$ 可能为奇函数 C、在 $(- 1, 1)$ 上不单调 D、 $f (1.2) + f (1) > 2 f (1.1)$

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7、“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，参加比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有 $6$ 名划手、其中有 $3$ 名只会划左桨， $3$ 名只会划右桨.现从这 $6$ 名划手中选派 $4$ 名参加比赛，其中 $2$ 名划左桨， $2$ 名划右桨，则不同的选派方法共有（）

A、 $3$ 种 B、 $6$ 种 C、 $9$ 种 D、 $36$ 种

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项和公差均不为0，且满足 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ 成等比数列，则 $\frac{a_{1} + a_{5}}{a_{2} + a_{6}}$ 的值为（）

A、 $\frac{13}{14}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{11}{12}$ D、 $\frac{8}{7}$

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9、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $\frac{S_{n}}{n} = n$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、5 B、9 C、10 D、25

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10、下列导数运算正确的是（）

A、 ${(cos \frac{π}{6})}^{'} = - \frac{1}{2}$ B、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ C、 ${(x^{2} ln x)}^{'} = 2 x ln x$ D、 ${(e^{- x})}^{'} = e^{- x}$

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 2)$ .

(1)、证明：当 $a = 1$ 时， $f (x) \geq - 1$ ；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = ln (x + m)$ ，点 $P (- 1, 0)$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 与曲线 $f (x)$ 相切.

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若函数曲线 $g (x)$ 也与直线 $l$ 相切，求 $m$ 的值；

(3)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，当 $m \leq 2$ 时，求证： $h (x) > 0$ .

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{16}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 3 {log}_{2} (\frac{1}{a_{n}})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并求 $T_{n}$ 的最大值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 2$ ， $a_{7} = 7$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前99项和 $S_{99}$ ；

(3)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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15、已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 的最大值和最小值.

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ 存在对称中心，则 $f (x)$ 在对称中心处的切线方程是.

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17、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，公差 $d \neq 0$ ， $a_{1} = 9$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ 成等比数列，则 $d =$ .

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18、若数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = - 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ，则 $a_{4} =$ .

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19、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ， $(S_{7} - S_{4}) (S_{8} - S_{4}) < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，则 $S_{12} < 0$ B、若 $d > 0$ ，则 $S_{5}$ 最小 C、 $|a_{6}| > |a_{7}|$ D、 $a_{6}^{2} > a_{5} a_{8}$

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20、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x)$ 的图像如图所示，下列结论正确的是（）

A、当 $x < - 1$ 时， $f^{'} (x) < 0$ B、当 $x = - 1$ 时， $f^{'} (x) = 0$ C、当 $x = 2$ 时， $f (x)$ 取得最大值 D、当 $x = 2$ 时， $f (x)$ 取得极大值

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