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相关试卷

1、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $3$ 的正方形， $M$ 是 $P D$ 的中点，

(1)、证明： $P B //$ 平面 $M A C$ ；

(2)、若 $M$ 在底面 $A B C D$ 上的投影为底面中心，求直线 $B P$ 到平面 $M A C$ 的距离．

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2、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足以下条件： $\{\begin{array}{l} 2 \vec{a} + \vec{b} = (4, - 1) \\ \vec{a} - 2 \vec{b} = (- 3, - 8) \end{array}$

(1)、求 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (m - 1, 2 m)$ 且 $\vec{c} // (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、若 $\vec{d} = (x, y)$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{d})$ ， $|\vec{d}| = 5$ ，求 $\vec{d}$ ．

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c} = \vec{0}$ ， $\cos ⟨\vec{c}, \vec{a} - 2 \vec{b}⟩ = \frac{1}{2}$ ，若 $λ \in R$ 时， $|\frac{λ}{2} \vec{a} + (1 - λ) \vec{b}|$ 的最小值为1，则 $|\vec{b}| =$ ．

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4、已知高为1的正四棱柱的顶点都在表面积为 $9 π$ 的球面上，则该正四棱柱的表面积为．

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5、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，若 $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ， $A^{'} B^{'} // x^{'}$ 轴， $A^{'} C^{'} // y^{'}$ 轴，则 $△ A B C$ 的面积为．

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6、我们称底面直径与高相等的圆柱为等边圆柱，如图，在等边圆柱内有一个正三棱锥，正三棱锥的底面 $△ A B C$ 在圆柱底面圆周上，顶点P是圆柱的上底面中心，M是底面三角形边 $A C$ 的中点，连接 $B M$ ， $D E$ 是上底面的一条直径且 $D E$ 不平行于 $B M$ ，若圆柱的高为4，则下列说法中，正确的是（）

A、 $△ P A C$ 中 $P M$ 的长为 $2 \sqrt{5}$ B、圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为 $4 \sqrt{2} : 3$ C、四面体 $B D E M$ 的体积最大值为8 D、半平面 $E B M$ 与半平面 $P B M$ 所成二面角的余弦值的取值范围是 $[\frac{2 \sqrt{5}}{5}, 1)$

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7、根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）

A、 $b = 8$ ， $c = 4$ ， $C = \frac{5 π}{6}$ B、 $b = 5$ ， $c = 7$ ， $C = \frac{π}{3}$ C、 $a = 10$ ， $b = 5 \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ D、 $a = 20$ ， $b = 15$ ， $B = \frac{π}{6}$

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8、若 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（）

A、 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}\}$ B、 $\{\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}\}$ C、 $\{\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}\}$ D、 $\{\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, - 4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}\}$

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9、用一个平行于棱锥底面的平面去截一个底面积为4的棱锥，截得的棱台的上底面积为1，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的体积为（）

A、12 B、9 C、7 D、6

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10、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ B、 $(\frac{3}{10}, - \frac{1}{10})$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

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11、下列命题中，正确的是（）

A、若直线a与平面 $α$ 平行，则a平行于 $α$ 内的任何直线 B、若两直线a，b都与平面 $α$ 平行，则 $a // b$ C、若直线a平行于平面 $α$ ，直线b在平面 $α$ 内，则 $a // b$ D、若直线l与平面 $α$ 平行，则平面 $α$ 内有无数条直线与l平行

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12、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A B}$ 等于（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $- \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{b} - \vec{a}$

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13、对于给定的正整数 $n (n \geq 2)$ ，数列 $\{a_{i}\}$ 共有2n项， $a_{i} \in \{1, - 1\} (i = 1, 2, 3, \dots, 2 n)$ ，用 $S_{k}$ 表示数列的前k项和，且 $S_{2 n} = 0$ .

(1)、若数列满足对于任意的 $k \leq 2 n - 1 (k \in N^{*})$ ，均有 $|S_{k}| \leq 2$ ，则称该数列是“ $n \times 2$ 数列”，其个数记为 $c_{n}$ .
（ⅰ）求 $c_{2}$ 和 $c_{3}$ 的值；
（ⅱ）对于 $n = 4$ ，求满足 $S_{4} = 0$ 的“ $n \times 2$ 数列”的个数.

(2)、当 $n = 4$ 时，求 $X = \max_{k \leq 7} |S_{k}|$ 的分布列及均值.

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14、已知函数 $f (x) = (x - 1) \ln x - m x + 1$ ，

(1)、当 $m = 2$ 时，
（ⅰ）求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；
（ⅱ）证明：函数 $f (x)$ 有唯一极值点；

(2)、若 $f (x) > 1 - e$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C // A D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，点E在AD上，且 $P E ⊥ A D$ ， $A E = D E = 2$ .

(1)、若点Q为线段PE的中点，证明： $B Q //$ 平面PCD；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面PAD， $P E = 3$ ，求直线PD与平面PAB所成的角的正弦值.

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16、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $a_{2} + a_{7} = 20$ ， $S_{5} = 35$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} S_{n} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和 $T_{n}$ ，并证明 $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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17、箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球.

(1)、求摸到两球编号均为奇数的概率；

(2)、在摸到1号球的条件下，求两球编号的和为奇数的概率.

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18、某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\}$ 重新编辑，编辑新序列有两种，分别为 $A * = \{\frac{a_{2}}{a_{1}}, \frac{a_{3}}{a_{2}}, \frac{a_{4}}{a_{3}}, \dots\}$ ， $A^{#} = \{a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, a_{4} - a_{3}, \dots\}$ ，若序列 $(A^{#}) *$ 的所有项都是2，且 $a_{5} = 1$ ， $a_{6} = 33$ ，则 $a_{1}$ 等于.

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19、如图所示，已知一质点从原点O出发，因外力作用每次向左移动的概率为 $\frac{2}{3}$ ，向右移动的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若该质点每次移动一个单位长度，设经过6次移动后，该质点位于X的位置，则 $P (1 < X < 5) =$ .

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20、设随机变量 $ξ ~ N (3, 6)$ ，若 $P (ξ < m) = P (ξ > m - 2)$ ，则 $m =$ .

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