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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sqrt{3} sin A}{cos B} = \frac{a}{b}$ ， $a^{2} = b^{2} + b c$ .

(1)、求角 $B$ 和 $A$ ；

(2)、已知 $b = 2$ ，设 $M$ 、 $N$ 为线段 $A B$ 上的两个动点（ $M$ 靠近点 $A$ ），且 $∠ M C N = \frac{π}{6}$ .
①若 $A M = 1$ ，求 $△ M N C$ 的周长；
②当 $∠ A C M$ 为何值时， $△ M N C$ 的面积最小，最小面积是多少？

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2、一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球 $2 n$ 次 $(n \in N^{*})$ ，且每次取1只球， $X$ 表示 $2 n$ 次取球中取到红球的次数， $Y = \{\begin{array}{l} X ， X 为奇数 \\ 0 ， X 为偶数 \end{array}$ ，则 $Y$ 的数学期望为（用 $n$ 表示）．

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3、加斯帕尔 $\cdot$ 蒙日(图1)是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆(图2)．已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P ， Q$ 均在 $C$ 的蒙日圆 $O$ 上， $P A ， P B$ 分别与 $C$ 相切于 $A ， B$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C$ 的蒙日圆方程是 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、设 $N (1 ， 1)$ ，则 $|A N| + |A F_{2}|$ 的取值范围为 $[4 - \sqrt{5} ， 4 + \sqrt{5}]$ C、长方形 $R$ 的四条边均与椭圆 $C$ 相切，长方形 $R$ 的面积的最大值为14 D、若直线 $P Q$ 过原点 $O$ ，且与 $C$ 的一个交点为 $G ， |G F_{1}| \cdot |G F_{2}| = 3$ ，则 $|G P| \cdot |G Q| = 3$

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4、已知函数 $f (x) = (x + 1) ln x + x - 1$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程是 $3 x - y + 3 = 0$ B、函数 $y = f^{'} (x)$ 的单调递减区间为 $(0, 1)$ C、函数 $y = f (x) - f^{'} (x)$ 有唯一的零点 D、函数 $y = f^{'} (x)$ 的最大值为3

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5、下列结论中，正确的有（）

A、若随机变量 $ξ \sim N (2, σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 5) = 0.81$ ，则 $P (ξ \leq - 1) = 0.19$ B、将一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化 C、已知经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 2.8$ ，且 $\bar{x} = 4$ ， $\bar{y} = 30$ ，则 $\hat{b} = 6.8$ D、在线性回归分析中相关指数 $R^{2}$ 用来刻画拟合的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好

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6、已知函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ ，且有 $f (x) + f (\frac{π}{3} - x) = 0$ ， $f (\frac{π}{3} + x) = f (\frac{π}{3} - x)$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(0, 4 π)$ 内至少有（）个零点．

A、4 B、8 C、10 D、12

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7、对于函数 $f (x) = (2^{x} - 2^{- x}) \cdot x^{3}$ 和实数m、n．下列结论正确的是（）

A、若 $f (m) < f (n)$ ，则 $m^{2} < n^{2}$ B、若 $f (m) < f (n)$ ，则 $m^{3} < n^{3}$ C、若 $m < n$ ，则 $f (m) < f (n)$ D、若 $0 < m < n$ ，则 $f (\frac{1}{m}) < f (\frac{1}{n})$

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8、我们知道 $x \in (0 °, 90 °)$ 时， $\tan x > \sin x$ 恒成立； $x \in (0 °, 45 °)$ 时， $\cos x > \sin x$ ， $x \in (45 °, 90 °)$ 时， $\sin x > \cos x$ ，某数学研究小组欲研究 $x \in (0 °, 90 °)$ 时， $\cos x$ 与 $\tan x$ 的大小关系，小组成员经过分析得出结论，存在 $α$ ，当 $x \in (0 °, α °)$ 时， $\cos x > \tan x$ ，当 $x \in (α °, 90 °)$ 时， $\tan x > \cos x$ ，为更准确地估计 $α$ ，该小组查到如下相关数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ， $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\sin 38 ° \approx \frac{8}{13}$ ， $\sin 39 ° \approx \frac{17}{27}$ ， $\sin 40 ° \approx \frac{9}{14}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x \in (0 °, 37 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$ ； $x \in (38 °, 45 °)$ 时， $\tan x > \cos x > \sin x$ B、 $x \in (0 °, 38 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$ ； $x \in (39 °, 45 °)$ 时， $\tan x > \cos x > \sin x$ C、 $x \in (0 °, 39 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$ ； $x \in (40 °, 45 °)$ 时， $\tan x > \cos x > \sin x$ D、 $x \in (0 °, 40 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$

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9、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (1, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + m \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、5 C、 $- 1$ D、 $- 5$

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10、已知集合 $A = {x | \log_{9} x > \frac{1}{2}}$ ， $B = {x | x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 3}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 ${x | 1 < x < 4}$ D、 ${x | 3 < x < 4}$

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11、已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知函数 $f (x) = 2 a \ln x - x^{2} + a$ ， $a \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在这两个零点处的切线交于点 $(x_{0}, y_{0})$ ，求证： $x_{0}$ 小于 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的等差中项；

(3)、证明： $2 \ln (n + 1) > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .

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13、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.

(1)、求展开式中所有二项式系数的和；

(2)、求展开式中的常数项.

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15、若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + 3 m x + 1$ 是 $R$ 上的单调函数，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16、对任意实数 $x$ ，有 ${(2 x - 3)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \dots \dots + a_{9} {(x - 1)}^{9}$ .则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} = - 144$ B、 $a_{0} = 1$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{9} = 1$ D、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \dots - a_{9} = - 3^{9}$

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17、下列求导过程正确的是（）

A、 ${(\frac{2}{x})}^{'} = - \frac{2}{x^{2}}$ B、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、 ${(\frac{\ln x}{\ln a})}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$ D、 ${[\cos (\frac{3}{2} π - 3 x)]}^{'} = - 3 \sin (\frac{3}{2} π - 3 x)$

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18、定义在区间 $[- \frac{1}{2}, 4]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 4)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极小值

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19、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f (x) > f^{'} (x)$ ，则当 $a > b$ 时，下列不等式成立的是（）

A、 $e^{a} f (a) > e^{b} f (b)$ B、 $e^{b} f (a) > e^{a} f (b)$ C、 $e^{b} f (b) > e^{a} f (a)$ D、 $e^{a} f (b) > e^{b} f (a)$

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20、学校乒乓团体比赛采用 $5$ 场 $3$ 胜制（ $5$ 场单打），每支球队派 $3$ 名运动员参赛，前 $3$ 场比赛每名运动员各出场 $1$ 次，其中第 $1$ 、 $2$ 位出场的运动员在后 $2$ 场比赛中还将各出场 $1$ 次，假设某球队派甲、乙、丙 $3$ 名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（）

A、 $12$ B、 $18$ C、 $30$ D、 $36$

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