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相关试卷

1、设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}, B = \{x |x^{2} - x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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2、设函数 $f (x) = a ln (x + 2) + \frac{1}{2} (x^{2} - 1)$ （a为非零常数）

(1)、若曲线 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线经过点 $(1, \ln 2)$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ，且对于任意正整数 $n$ ，均有 $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = n (n + 1)$ ．

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，证明： $\{b_{n}\}$ 为等差数列；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{2^{b_{n}}}$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 为数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{3}{2} - T_{n} \leq \frac{k (n + 3)}{S_{n}}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (\frac{1}{x} - ln x + a)$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $f^{'} (1) = e$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内单调递减，求 $a$ 的取值范围．

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5、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = f (n)$ ，求数列的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线方程．

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6、已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，设其导函数为 $f' (x)$ ，当 $x \in (- \infty, 0)$ 时，恒有 $x f' (x) < f (- x)$ ，令 $F (x) = x f (x)$ ，则满足 $F (3) > F (2 x - 1)$ 的实数 $x$ 的取值集合是．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{4 a_{n} + 1}$ ，则 $a_{n} =$ ．

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8、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1},$ $a_{17}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 2 = 0$ 的根，则 $\frac{a_{2} a_{16}}{a_{9}}$ 的值为．

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9、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \{\begin{cases} \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数时 \\ a_{n} + 3, 当 a_{n} 为奇数时 \end{cases}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $a_{1} = 10$ ，则 $a_{2023} = 2$ B、若 $a_{3} = 16$ ，则 $a_{1}$ 的值有3种情况 C、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = a_{n}$ ，则 $a_{1} = 3$ D、若 $a_{n}$ 为奇数，则 $a_{n - 1} = 2 a_{n}$ （ $n \geq 2$ ）

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10、若函数 $f (x) = x^{3} - 12 x$ 在区间 $(k - 1, k + 1)$ 上不是单调函数，则实数 $k$ 的可能取值是（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $2$ D、 $- 2$

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11、关于函数 $f (x) = x ln x$ ，以下说法正确的有（）

A、 $f^{'} (e^{2}) = 3$ B、 $f (x)$ 在 $(- \infty, \frac{1}{e})$ 单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ 单调递增

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x f^{'} (2)$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 15$ B、 $- 3$ C、3 D、15

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13、下列各式正确的是（）

A、 ${[ln (2 x + 1)]}^{'} = \frac{1}{2 x + 1}$ B、 ${(x \cdot 2^{x})}^{'} = 2^{x} (1 + x ln 2)$ C、 ${(\frac{cos x}{x})}^{'} = \frac{x sin x + cos x}{x^{2}}$ D、 ${(\sqrt{x})}^{'} = - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

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14、已知 $f^{'} (x_{0}) = 3$ ， $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 2 Δ x) - f (x_{0})}{3 Δ x}$ 的值是（）

A、3 B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{3} = 10$ ， $S_{5} = 30$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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16、数列1， $- \frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{5}{16}$ ， …的一个通项公式为

A、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{n + 1}{2^{n}}$ B、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n - 1}{2^{n}}$ C、 ${(- 1)}^{n} \frac{n + 1}{2 n}$ D、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n - 1}{2 n}$

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17、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，如果对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (k x) = k f (x) (k \geq 2, k \in N^{*})$ 成立，则称 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数.
（ $1$ ）若函数 $f (x)$ 为二阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 2]$ 时， $f (x) = 1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ ，求 $f (2 \sqrt{3})$ 的值.
（ $2$ ）若 $f (x)$ 为三阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 3]$ 时， $f (x) = \sqrt{3 x - x^{2}}$ ，求证：函数 $y = f (x) - \sqrt{2} x$ 在 $(1, + \infty)$ 上无零点.
（ $3$ ）若函数 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数，且当 $x \in (1, k]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是 $[0, 1)$ ，求 $f (x)$ 在 $(0, k^{n + 1}] (n \in N^{*})$ 上的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \sin ω x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{ω x}{2} - \sqrt{3}$ ， $(ω > 0)$ 满足 $f (x - \frac{2 π}{3}) + f (- x) = 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 上单调递增.

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、设 $a \in [0, 2 π]$ .若函数 $y = f (x)$ 和 $y = f (x + a)$ 在 $[0, π]$ 上有相同的最大值，求 $a$ 的取值范围.

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19、已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (a - (c - b) \cos B, \sin B)$ ， $\vec{n} = (b + (c - b) \cos A, \sin A)$ ， $\vec{m} ∥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{a^{2} - c^{2}}{b^{2}}$ 的取值范围.

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20、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{b c}{3 \sin C}$ ， $\tan A \tan C = 4$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 与边 $A C$ 相交于点 $D$ ， $B D = \frac{6 \sqrt{3}}{5}$ ， $b = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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