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相关试卷

1、过原点的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 2$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若三角形 $A B C$ 的面积为 $1$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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2、已知 $(1 + \frac{a}{x}) {(1 + x)}^{4}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为16，则 $a =$ .

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3、如图， $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 都垂直于底面 $A B C D$ ，且 $D D_{1} = \frac{3}{2} A A_{1} = \frac{3}{2} C C_{1} = 3 B B_{1} = 6$ ，点 $E$ 在线段 $C C_{1}$ 上，平面 $B E D_{1}$ 交线段 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，点 $G$ 在线段 $D D_{1}$ 上，则（）

A、存在 $G$ ，使得 $A_{1} G //$ 面 $D C_{1} B$ B、若 $G$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则 $B_{1} G ⊥ A_{1} D$ C、过四点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， B，D四点的外接球体积为 $8 \sqrt{6} π$ D、截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长的最小值为 $4 \sqrt{13}$

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4、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为1 C、若 $a + b = 9$ ，则 $\frac{36}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为8 D、若 $\sqrt{a} + \sqrt{5 b} \leq k \sqrt{a + b}$ 恒成立，则 $k$ 的最小值为 $\sqrt{5}$

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5、已知函数 $f (x) = A sin (ω x - \frac{π}{3})$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ）的最大值为 $2$ ，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 单位后关于原点对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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6、在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别为 $A B$ 、 $C C_{1}$ 的中点，过直线 $M N$ 的平面 $α$ 截该正方体所得截面 $Γ$ ，则当平面 $α$ 与平面 $A B C D$ 的所成角为最小时，截面 $Γ$ 的面积为（）

A、 $8 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{30}$ C、 $12 \sqrt{3}$ D、 $\frac{14 \sqrt{11}}{3}$

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7、已知 $sin 2 α = 2 sin 2 β$ ， $cos 2 α = 4 {sin}^{2} β$ ，则 $cos (2 α + β) =$ （）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、下列说法错误的是（）

A、若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则当 $σ$ 较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量 $X$ 的分布较集中 B、在做回归分析时，用决定系数 $R^{2}$ 刻画模型的回归效果，若 $R^{2}$ 越大，则说明模型拟合的效果越好 C、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为3，则 $3 x_{1} + 1, 3 x_{2} + 1, \dots, 3 x_{n} + 1$ 的平均数为10 D、一组数据6，7，7，8，10，12，14，17，19，21的第80百分位数为17

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9、“ $a \in R$ 且复数 $(a + i) (1 - a i) \in R$ ”是“ $a = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、从编号为1，2，…， $n (n \in N^{*})$ 的座位中按照如下方式选取座位：选取至少 $2$ 个座位，并且选取的座位中没有相邻的座位，则称这样的座位选取方案称为“社交排位”．

(1)、若 $n$ 个座位排成一排，对应的“社交排位”数为 $u_{n}$ ，例如 $n = 1$ 时，由于至少要选取2个座位，因此 $u_{1} = 0; n = 3$ 时，由于只能选取第1，3个座位，因此 $u_{3} = 1$ ．
（i）求 $u_{4}, u_{5}$ ；
（ii）求使 $u_{n} \geq 300$ 的最小正整数 $n$ ，

(2)、若 $n$ 个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为 $r_{n}$ ，求数列 $\{r_{n}\}$ 中第2025个奇数对应的 $n$ ．

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11、已知函数 $f (x) = x \ln x - 1$ ，函数 $f (x)$ 图象上的一点 $(x_{0}, f (x_{0})) (x_{0} \neq \frac{1}{e})$ ，按照如下的方式构造切线 $l_{n} (n \in N^{*})$ ：在点 $(x_{n - 1}, f (x_{n - 1}))$ 处作 $f (x)$ 的切线 $l_{n}$ ，记切线 $l_{n}$ 与x轴交点的横坐标为 $x_{n}$ ．

(1)、写出 $x_{n}$ 与 $x_{n - 1}$ 的递推关系式；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为r，且 $x_{0} > r$ ．
（i）证明：当 $x_{n - 1} > r$ 时， $x_{n} > r$ ；
（ii）证明：对于任意的 $C \in [\frac{1}{2}, 1)$ ，都有 $|x_{n} - r| < C^{n} |x_{0} - r|$ ．

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12、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时， $| P F | = \frac{1}{2}$ ， R是直线 $y = 2$ 上一动点， $| P R |$ 的最小值为1．

(1)、求E的方程：

(2)、过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求 $△ R M N$ 面积的取值范围．

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13、已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °, A A_{1} = A_{1} B_{1} = 1$ ， E是 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $D D_{1} ⊥$ 平面 $A D_{1} E$ ；

(2)、求平面 $A D_{1} E$ 与平面 $A_{1} D_{1} E$ 夹角的余弦值．

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14、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， BC边上的高等于 $\frac{\sqrt{3}}{4} B C$ ．

(1)、求 $\sin B \sin C$ 的值；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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15、将五张标有 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按 $1 - 3 - 5 - 4 - 2$ 取走卡片的顺序是“和谐序”，按 $1 - 5 - 2 - 3 - 4$ 取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这 $5$ 张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为．

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ， C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且 $| F A | = 3 | F B |$ ，则 $△ T F A$ 的面积等于．

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17、对于 $n \in N^{*}$ ，将n表示为 $n = a_{0} \cdot 3^{0} + a_{1} \cdot 3^{1} + a_{2} \cdot 3^{2} + \dots + a_{k} \cdot 3^{k}$ ．其中 $a_{i} \in {- 1, 0, 1} (i = 0, 1, 2, \dots, k), a_{k} \neq 0$ ．记 $I (n)$ 为上述表示中 $a_{i}$ 为0的个数（例如 $8 = (- 1) \cdot 3^{0} + 0 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{2}$ ，则 $I (8) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $I (9) = 2$ B、 $I (3^{n} - 1) = n - 1$ C、 $I (9 n) = I (n) + 2$ D、 $I (9 n + 4) = I (n) + 4$

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f^{2} (x) + f^{2} (y) = f (x + y) f (x - y) + 1$ ， $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的最大值为 $1$

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19、已知函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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20、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 均不为0，则下列等式不恒成立的是（）

A、 $\bar{z_{1} - z_{2}} = \bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}$ B、 $|z_{1} - z_{2}| = |{\bar{z}}_{1} - {\bar{z}}_{2}|$ C、 $z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2} = {\bar{z}}_{1} \cdot z_{2}$ D、 $|z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2}| = |{\bar{z}}_{1} \cdot z_{2}|$

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