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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 x - a ln (x + a)$ （ $a > 0$ ）．

(1)、设 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - a$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

(2)、当 $a = 1$ 时，
①写出曲线 $y = f (x)$ 的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设 $F (x) = x f (x)$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = \frac{1}{6}$ ， $e^{2 x_{n + 1}} = F (x_{n}) + 1$ ，证明： $e^{2 x_{n}} < 1 + \frac{1}{2^{n}}$ ．

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2、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $C D = 2 A B = 6$ ， $A D = 2$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A B$ ， $C D$ 上异于端点的一点， $E F ⊥ A B$ ，将梯形 $A E F D$ 沿 $E F$ 翻折至与梯形 $E B C F$ 垂直的位置，得到多面体 $A B E D C F$ ．

(1)、若 $B D ⊥ E C$ ，证明： $D F = F C$ ．

(2)、若 $C D //$ 平面 $A B F$ ，求直线 $B C$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值．

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3、在制造业智能化的趋势下，某企业委托机构随机调查了200名传统质检员，以评估 $AI$ 质检系统对传统质检员数量的影响，部分数据如下表所示：
$AI$ 质检系统的应用情况
传统质检员数量
合计
减少
未减少
应用
70

应用
未应用

50
未应用
合计
100

合计

(1)、根据以上数据及小概率值 $α = 0.010$ 的独立性检验，能否认为 $AI$ 质检系统的应用与传统质检员数量减少有关？

(2)、该企业引入 $AI$ 质检系统后，将对质检员开展三轮专项培训，已知每轮达到“熟练操作 $AI$ 质检系统”水平（视为达标）的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，各轮结果相互独立，且规定两轮及以上达标者，方可操作该系统．
①某部门有48名质检员，规定培训通过（两轮及以上达标）者可获得500元奖金，求该部门为员工培训需准备的奖金总额的数学期望．
②调研发现，能操作 $AI$ 质检系统的质检员中，70%的人薪资涨幅超过15%；不能操作 $AI$ 质检系统的质检员中，30%的人薪资涨幅超过15%．若在质检员培训后，从中随机选取一人，其薪资涨幅超过15%，求该员工能操作 $AI$ 质检系统的概率．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $3 a - c = 3 b cos C$ ．

(1)、求 $sin B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ， $a + c = \sqrt{3} b$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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5、已知函数 $f (x) = a \sqrt{4 x - 1} + e^{x} + b$ 有零点，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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6、已知 $F$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点， $A, B$ 分别是椭圆 $E$ 的长轴与短轴的一个端点，若以 $A F$ 为直径的圆经过 $B F$ 的中点，则椭圆 $E$ 的离心率为．

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7、 $(1 + x^{2}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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8、已知有穷数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n$ ，其项数不少于4项，从 $\{a_{n}\}$ 中选取 $m (3 \leq m \leq n)$ 项组成数列 $\{b_{m}\}$ ，数列 $\{b_{m}\}$ 满足 $\forall i \in \{1, 2, \dots, m - 2\}$ ， $(b_{i + 2} - b_{i}) (b_{i + 2} - b_{i + 1}) < 0$ ，则（）

A、数列 $\{b_{m}\}$ 是单调数列 B、当 $n = m = 7$ 时， $b_{7} = 4$ C、当 $m = 12$ 时， $|b_{12} - b_{1}| \geq 6$ D、数列 $\{b_{m}\}$ 的个数为 $2 C_{n}^{m}$

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9、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点， $P$ 为双曲线右支上一点， $|P F_{2}|$ 的最小值为1，且当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $|P F_{2}| = 3$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的焦距为4 B、双曲线 $C$ 的一条渐近线被圆 $T$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为2 C、过点 $F_{2}$ 作双曲线 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $Q$ ，则 $|Q F_{1}| = 2 \sqrt{2}$ D、 $M$ 为圆 $E$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一点， $|P M| - |P F_{2}|$ 的最大值为3

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10、设函数 $f (x) = \frac{3}{2} cos 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3}, \frac{5π}{6}]$ 上单调递增 C、 $\forall a \in R$ ， $f (x)$ 在 $(a, a + \frac{4π}{7})$ 上存在极值点 D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数

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11、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是球 $O$ 的球面上四点， $A B ⊥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $A C = B D = C D = \sqrt{13}$ ．记球 $O$ 的体积为 $V_{1}$ ，四面体 $A B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} : V_{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{64 \sqrt{3}}{27} π$ B、 $\frac{25 \sqrt{3}}{9} π$ C、 $\frac{80 \sqrt{3}}{27} π$ D、 $\frac{32 \sqrt{3}}{9} π$

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12、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (x + 2) = f (x) f (x + 2)$ ， $f (3) = 3$ ，则 $f (2025) =$ （）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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13、已知不共线的向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = |2 \vec{a} + \vec{c}|$ ，则 $|\vec{b} - \vec{c}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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14、已知函数 $y = 3^{x}$ 图象上不同的两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 到直线 $y = \frac{1}{3}$ 的距离相等，则（）

A、 $x_{1} x_{2} < 0$ B、 $x_{1} + x_{2} < - 2$ C、 $y_{1} y_{2} > \frac{1}{9}$ D、 $y_{1} + y_{2} < 2 \times 3^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$

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15、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{3 - sin α}{2 - {cos}^{2} β} = 2$ ，则 $tan α tan 2 β =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知 $S_{n}$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} a_{5} a_{7} = a_{4} a_{8}$ ， $S_{3} = 7$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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17、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + i}{z - 1} = 1 + i$ ，则在复平面内， $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x | x (x - 2) > 0\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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19、二次函数的图象是抛物线，现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象可以由 $y = x^{2}$ 的图象沿向量 $\vec{n} = (0, 1)$ 平移得到；抛物线 $y = x^{2}$ ，即 $x^{2} = y$ 的焦点坐标为 $(0, \frac{1}{4})$ ，准线方程为 $y = - \frac{1}{4}$ ；故二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的焦点坐标为 $(0, \frac{5}{4})$ ，准线方程为 $y = \frac{3}{4}$ .

(1)、求二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 的焦点坐标和准线方程；

(2)、求二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的焦点坐标和准线方程；

(3)、设过 $A (4, 1)$ 的直线与抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 的另一个交点为 $B$ ，直线 $A B$ 与直线 $y = x - 4$ 交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 于点 $N$ . 是否存在定点 $G$ ，使得 $B, N, G$ 三点共线? 若存在，请求出定点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} - x \ln x + m x - 1 (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
（ⅰ）求实数 $m$ 的取值范围；
（ⅱ）证明： $x_{1} x_{2} < 1$ .

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$AI$ 质检系统的应用情况	传统质检员数量		合计
$AI$ 质检系统的应用情况	减少	未减少	合计
应用	70		应用
未应用		50	未应用
合计	100		合计

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828