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相关试卷

1、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $P$ 为底面 $A B C D$ 内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）．

A、三棱锥 $B_{1} - C_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ A C_{1}$ C、若 $D_{1} P ⊥ B_{1} D$ ，则 $P$ 点在正方形底面 $A B C D$ 内的运动轨迹长为 $\sqrt{2}$ D、若点 $P$ 是 $A D$ 的中点，点 $Q$ 是 $B B_{1}$ 的中点，过 $P$ ， $Q$ 作平面 $α ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面面积为 $3 \sqrt{3}$

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2、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + 4) - x - 1$ ，设 $a = f (\frac{19}{10})$ ， $b = f (tan \frac{1}{10})$ ， $c = f (ln \frac{11}{10})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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3、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上除顶点外的一点， $|P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} > 60 °$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{7}}{2}, 2)$ B、 $(\frac{\sqrt{7}}{2}, 3)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\sqrt{3}, 3)$

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4、已知圆锥的底面半径为1，高为 $\sqrt{3}$ ，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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5、已知 $sin α - \sqrt{2} cos α = 0$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、0

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6、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (m > 0)$ 的焦距为 $6$ ，则 $m =$ （）

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $9$ D、 $3$

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7、已知一个袋子中装有分别标有数字 $1, 2, 3, \dots, n, n + 1, \dots, 2 n$ 的 $2 n$ 张卡片， $n \in N^{*}$ .

(1)、把这个袋子中的 $2 n$ 张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为 $A_{n}$ ，求 $A_{1} + A_{2} + A_{3} + \dots + A_{n}$ 的值；

(2)、从这个袋子中依次随机抽取一张卡片.
（ⅰ）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取 $n$ 次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为 $Y$ ，证明： $E (Y) < 2$ ；
（ⅱ）若取出的卡片不再放回袋子，记 $X$ 为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求 $E (X)$ .

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8、已知 $f (x) = {log}_{a} [- x^{2} + (2 a + 1) x - 2 a]$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域 $A$ ；

(2)、若 $a \in (0, \frac{1}{2})$ ，函数 $f (x)$ 的最小值为2，求 $a$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，存在 $x \in A$ ，使得不等式 $4^{1 - x} + 4^{1 + x} - 3 m - 28 \leq m (2^{- x} - 2^{x})$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

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9、Chat GPT（恰匹题）（全名：Chat Generative Pre-trained Transformer），是OPENAI研发的聊天机器人程序．Chat GPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、翻译、代码，写论文等任务．为了了解是否喜欢该程序与年龄有关联，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了400名居民进行调查，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表：

青年
非青年
合计
喜欢
180
40
220
不喜欢
120
60
180
合计
300
100
400

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为是否喜欢该程序与年龄有关联？

(2)、从抽取出的青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调查，记随机变量 $X$ 为这3人中喜欢该程序的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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10、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 m x + m^{2} \leq \frac{1}{4}$ 的解集为A，不等式 $\frac{2 x - 1}{2 - x} \geq 0$ 的解集为 $B$ ．

(1)、已知A是 $B$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p : \exists x \in B, x^{2} + (2 n + 1) x - 8 > 0$ ，若命题 $p$ 为假命题，求实数 $n$ 的取值范围．

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11、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 8^{x} + 1, x \leq 0 \\ |\log_{6} x|, x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的函数 $g (x) = f^{2} (x) - (a + 2) f (x) + 3$ 恰好有5个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12、如图所示，现用 $4$ 种颜色标注 $6$ 个区域，相邻区域颜色不相同，则共有种涂色方式．

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13、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，若 $f (x - y) = 2 f (x) f (y) - f (x + y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x + 3)$ 是奇函数 D、 $f (2024) = - \frac{1}{2}$

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14、某市高三年级学生联考，学生的数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (110, 25)$ ，则下列说法正确的是（）

A、该市高三年级学生的数学成绩的方差是5 B、从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小 C、 $P (X > 110) > \frac{1}{2}$ D、从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为 $\frac{7}{8}$

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15、已知正实数 $x, y, z$ 满足 $x + ln x = y + e^{y} = e^{z} + ln z = 5$ ，则（）

A、 $x < y$ B、 $y > z$ C、 $ln x + y > 5$ D、 $e^{y} + z > 5$

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16、已知函数 $f (x) = x \ln \frac{2 + x}{2 - x}$ ，则不等式 $f (x + 1) > f (2 x - 1)$ 的解集为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- \frac{1}{2}, 0)$ D、 $(- 1, 2)$

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17、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + y = 5$ ，若 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq 2 m + 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{16}]$ B、 $(- \infty, \frac{2}{5}]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty, 4]$

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18、某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 $y$ （单位：千件）与售价 $x$ （单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：
$x$
$5$
$6$
$7$
$8$
$9$
$y$
$8$
$6$
$4.5$
$3.5$
$3$
根据表中的数据可得回归直线方程 $\hat{y} = - 1.25 x + 13.75$ ，以下说法正确的是（）

A、 $x$ ， $y$ 具有负相关关系，相关系数 $r = - 1.25$ B、 $x$ 每增加一个单位， $y$ 平均减少 $13.75$ 个单位 C、第二个样本点对应的残差 ${\hat{e}}_{2} = - 0.25$ D、第三个样本点对应的残差 ${\hat{e}}_{3} = 0.5$

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19、“ $m = - 1$ ”是“ $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + 2 m - 3}$ 为幂函数”的（）条件．

A、充要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充分不必要

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20、已知集合 $A = {x \in Z | x + 1 > 0}$ ， $B = {x | | x + 1 | \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1}$

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	青年	非青年	合计
喜欢	180	40	220
不喜欢	120	60	180
合计	300	100	400

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$y$	$8$	$6$	$4.5$	$3.5$	$3$