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相关试卷

1、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，则异面直线 $A_{1} B$ ， $A D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知 $△ A B C$ 中 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ ， $A B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $∠ B = 30 °$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$

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3、下列选项是真命题的是（）

A、 $\begin{matrix} α ⊥ γ \\ β ⊥ γ \end{matrix}\} \Rightarrow α ⊥ β$ B、 $\begin{matrix} a ⊥ b \\ b ⊥ β \end{matrix}\} \Rightarrow a // β$ C、 $\begin{matrix} m // α \\ n // β \\ m ⊥ n \end{matrix}\} \Rightarrow α ⊥ β$ D、 $\begin{array}{l} α // β \\ α \cap γ = a \\ β \cap γ = b \end{array}\} \Rightarrow a // b$

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4、在 $△ A B C$ 中， $\cos C = - \frac{3}{5}$ ， $B C = 1$ ， $A C = 5$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、4

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5、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (2, λ)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $1$

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6、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = 1$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的余弦值．

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7、已知斜率为1的直线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于 $A, B$ 两点，若 $Δ O A B$ 的外心为 $M (O$ 为坐标原点），则当 $\frac{| A B |}{| M O |}$ 最大时， $|A B|$ =.

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ ．

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9、甲射手击中靶心的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙射手击中靶心的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为．

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10、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ ， $Q$ 分别为棱 $A B$ ， $B C$ 的中点，则以下四个结论正确的是（）

A、棱 $C_{1} D_{1}$ 上存在一点 $M$ ，使得 $A M / /$ 平面 $B_{1} P Q$ B、点 $C_{1}$ 到平面 $B_{1} P Q$ 的距离为 $\frac{2}{3}$ C、过 $A_{1} C_{1}$ 且与面 $B_{1} P Q$ 平行的平面截正方体所得截面面积为 $\frac{9}{8}$ D、过 $P Q$ 的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 $\frac{3 π}{8}$

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11、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ .则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值 C、把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象 D、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $φ$ （ $φ > 0$ ）个单位长度，所得图象关于原点对称，则 $φ$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ， $S_{11} = 110$ ， $a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项，则下列选项正确的是( )

A、 $a_{12} = a_{3} + a_{9} = 20$ B、 $d = - 2$ C、 $S_{n}$ 有最大值 D、当 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最大值为21

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13、定理：如果函数 $f (x)$ 及 $g (x)$ 满足：①图像在闭区间 $[a, b]$ 上连续不断；②在开区间 $(a, b)$ 内可导；③对 $\forall x \in (a, b)$ ， $g^{'} (x) \neq 0$ ，那么在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$ ，满足 $\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)}$ 成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：
已知 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ ，若存在正数 $a$ ， $b$ （ $a < b$ ），满足 $f (b) = λ ln \frac{b}{a} + f (a)$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{32}{e^{4}}, \frac{1}{e}]$ B、 $[- \frac{8}{e^{4}}, \frac{2}{e}]$ C、 $[- \frac{4}{e^{4}}, \frac{1}{e}]$ D、 $[- \frac{4}{e^{4}}, \frac{2}{e}]$

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14、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以 $F_{1}$ $F_{2}$ 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率 $e$ 为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $4 (2 - \sqrt{3})$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{4}$

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16、函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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17、设 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > x$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知 $A (3, 1)$ ， $B (1, - 2)$ ， $C (1, 1)$ ，则过点 $C$ 且与线段 $A B$ 平行的直线方程为（）

A、 $3 x + 2 y - 5 = 0$ B、 $3 x - 2 y - 1 = 0$ C、 $2 x - 3 y + 1 = 0$ D、 $2 x + 3 y - 5 = 0$

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19、在复平面内，复数 $z = (2 - 5 i) (- 1 - 2 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - 2 \ln x$ ， $g (x) = (1 - a) x^{2} + a x + 1 - f (x)$ （ $a \in R$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)、若存在正数x，使 $g (x) \geq 0$ 成立，求实数a的取值范围；

(3)、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，证明：对任意的 $a \in (0, + \infty)$ ，存在唯一的实数 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ，使得 $g^{'} (x_{0}) =$ $\frac{g (x_{2}) - g (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ 成立.

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