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相关试卷

1、若不等式 $x + 2 \sqrt{x \cdot 2 y} \leq a (x + y)$ 对一切正实数 $x, y$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为．

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2、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, 5)$ ，若 $P (X < 2 a - 1) = P (X > a + 2)$ ，则实数 $a =$ .

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3、计算： ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}} + {log}_{5} 3 - {log}_{5} 15 + cos 120^{\circ} =$ .

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4、设函数 $f (x) = x |x| + b x + c$ ，下列命题中正确的有（）

A、 $c = 0$ 时， $y = f (x)$ 是奇函数 B、 $b = 0, c > 0$ 时，方程 $f (x) = 0$ 只有一个实根 C、 $y = f (x)$ 的图象关于 $(0, c)$ 对称 D、方程 $f (x) = 0$ 至多有两个实根

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5、下列说法正确的是（）

A、不等式 $\frac{x + 2}{2 x + 1} > 1$ 的解集 ${x | x < - \frac{1}{2}$ 或 $x > 1}$ B、一扇形的圆心角 $α = \frac{π}{3}$ ，半径 $R = 10 cm$ ，则该扇形的周长为 $\frac{10 π}{3} + 20 cm$ C、命题 $p : \forall x \in [- 1, 3]$ ， $x^{2} - 3 x \leq 0$ ，则 $\neg p : \exists x_{0} \in [- 1, 3]$ ， $x_{0}^{2} - 3 x_{0} > 0$ D、已知幂函数 $y = x^{α}$ 的图象经过点 $(2, 8)$ ，那么 $α = 3$

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6、若函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的单调函数，且对任意实数 $x$ ，都有 $f (f (x) + \frac{2}{2^{x} + 1}) = \frac{1}{3}$ ，则 $f (\log_{2} 3) =$ （）

A、1 B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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7、某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为

A、 $\frac{3}{13}$ B、 $\frac{4}{13}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8、函数 $f (x) ＝ A \sin (ω x ＋ φ)$ （其中 $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ 的图象如图所示，为了得到 $g (x) ＝ \sin ω x$ 的图象，可以将 $f (x)$ 的图象

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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9、在 ${(x + \frac{3}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 $64$ ，则 $x^{3}$ 的系数为（）

A、15 B、45 C、135 D、405

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$ ，则该函数在 $(1, 3]$ 上的值域是（　　）

A、 $[4, 5)$ B、 $(4, 5)$ C、 $[\frac{13}{3}, 5)$ D、 $[\frac{13}{3}, 5]$

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11、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， M是 $B B_{1}$ 的中点，N是BC的中点，过点N作与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 平行的直线PN，交 $A_{1} B_{1}$ 于点P．

(1)、证明： $C_{1} M ⊥$ 平面AMN；

(2)、求 $C_{1} M$ 与平面PMN所成角的正弦值；

(3)、求点P到平面AMN的距离．

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12、2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ ，且各题是否答对互不影响．

(1)、若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；

(2)、记张某初赛结束时已答题的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c - b = 2 a \cos B$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 长度的最小值．

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14、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）

A、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 B、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 C、若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在 $[2.5, 3.5]$ ， $[6.5, 7.5]$ ， $[12.5, 13.5]$ 三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在 $[6.5, 7.5]$ 的家庭应抽24个 D、从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot x_{12}$ 共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数

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15、函数 $f (x) = (x - \frac{4}{x}) cos \frac{π}{2} x$ 的部分图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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16、已知 $z + 2 i = \frac{i - 1}{i + 1}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $- i$ C、 $i$ D、 $2 i$

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17、设集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、3 C、2 D、1

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18、命题“ $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $e^{x} + 2 \sin x > 2 x$ ”的否定是（）

A、“ $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $e^{x} + 2 \sin x \geq 2 x$ ” B、“ $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $e^{x} + 2 \sin x \leq 2 x$ ” C、“ $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $e^{x} + 2 \sin x \leq 2 x$ ” D、“ $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $e^{x} + 2 \sin x < 2 x$ ”

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19、设函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处有极值，且 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“F点”．

(1)、判断函数 $y = x - \sin x$ 是否存在F点；

(2)、设函数 $f (x) = k x^{2} - 2 \ln x (k \in R)$ ，当 $f (x)$ 存在F点，求k的值；

(3)、设函数 $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x (a \neq 0)$ ，存在两个不相等的“F点” $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $|g (x_{1}) - g (x_{2})| \geq 1$ ，求a取值范围．

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20、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， E，F分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点． $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$

(2)、证明： $B F ⊥ D E$

(3)、当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．

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