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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 上， $A D = 2 D A_{1}$ ， $C_{1} E = 2 E C$ ， $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1} ∥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、当三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积最大时，求平面 $D E F$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值.

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2、如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，向右移动的概率是 $\frac{1}{3}$ ，共移动4s，设随机变量 $X$ 为移动4s后的质点的坐标，求移动4s后质点的坐标为正数的概率.

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3、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 3) = - f (- x)$ ，且 $f (2) = 0$ ，则 $f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上的零点个数的最小值为.

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4、复数 $z$ 满足 $i (z + i) = 2 + i$ ，则 $|z| =$ .

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5、已知 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (\frac{5 π}{3} - x) = 0$ C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}]$ 的值域为 $[- 1, \sqrt{3}]$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, 2 π)$ 上有3个极值点

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6、“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为 $ξ$ ， $η$ ）均服从正态分布，其中 $ξ ~ N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $η ~ N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ．如图，已知 $μ_{1} = 1150$ ， $μ_{2} = 1130$ ， $σ_{1}^{2} = 2500$ ， $σ_{2}^{2} = 1600$ ，两正态密度曲线在直线 $x = μ_{2}$ 左侧交于点 $M (x_{0}, y_{0})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (ξ < μ_{1}) < P (ξ < μ_{2})$ B、 $P (η < μ_{1}) > P (η < μ_{2})$ C、 $P (ξ > x_{0}) < P (η > x_{0})$ D、 $P (ξ > 1250) > P (η < 1050)$

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7、校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥 $P - A B C$ 的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面 $P_{1} A B, P_{2} B C, P_{3} A C$ ，使得平面 $P_{1} A B, P_{2} B C, P_{3} A C$ 均与平面ABC垂直，再将球 $O$ 放到上面使得 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 三个点在球 $O$ 的表面上，若奖杯的总高度为 $6 \sqrt{2}$ ，且 $A B = 4$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{140 π}{3}$ B、 $\frac{100 π}{9}$ C、 $\frac{98 π}{9}$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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8、已知0是函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1$ 的极大值点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3}, + \infty)$

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9、已知直线 $a$ 和 $b$ ，平面 $β$ ，且 $a ⊄ β$ ， $b \subset β$ ，则“ $a ∥ b$ ”是“ $a ∥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知集合 $A = \{1, 3, a^{2}\}$ ， $B = \{1, a + 2\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右顶点为 $A$ ，点 $P (a, 0)$ 、 $Q (0, t)$ 分别是 $x$ 轴负半轴、 $y$ 轴正半轴上的动点.

(1)、若 $P$ 是 $Γ$ 的左焦点，且 $|O A| = |P Q|$ ，求 $t$ 的值；

(2)、设 $t = 2 \sqrt{2}$ ， $Γ$ 上存在 $x$ 轴上方一点 $B$ .若 $\tan ∠ A Q B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $B$ 的坐标；

(3)、设 $t = 2$ ，过 $P$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点( $M$ 、 $N$ 两点不重合)，与 $y$ 轴交于 $C$ 且 $C$ 的纵坐标 $y_{c} > 1$ ，记 $M$ 与 $N$ 到直线 $A Q$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ .若存在直线 $l$ ，满足 $d_{1} + d_{2} = 3 \sqrt{2}$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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12、若直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为．

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13、已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．

(1)、求甲同学取球两次即终止的概率；

(2)、求随机变量X的分布列及期望．

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14、终边在直线 $y = x$ 上的角 $α$ 的集合是．（用弧度制表示）

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15、我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值 $θ$ 称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画 $B C$ ，最高点为 $B$ ，最低点为 $C$ ，观察点 $A$ 所在的水平线与壁画的竖直线交点为 $O$ ，在点 $A$ 处观察点 $B$ ，仰角为 $45 °$ ，然后面对壁画前进 $6 m$ 处的点 $D$ 观察点 $B$ ，其仰角的正切值为7．

(1)、求壁画最高点 $B$ 与点 $O$ 的距离；

(2)、若在 $A$ ， $D$ 两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等．
①求壁画最低点 $C$ 与点 $O$ 的距离；
②在观察水平线 $A O$ 上，应处在距离点 $O$ 多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？

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16、如图1，在 $△ P A B$ 中， $P A ⊥ A B$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ ， $C$ 分别是 $P A$ ， $P B$ 的中点，现将 $△ P D C$ 沿 $D C$ 逆时针翻折形成四棱锥 $P^{'} - A B C D$ （如图2），且 $P^{'} A = \sqrt{3}$ ，直线 $P^{'} C$ 与平面 $P^{'} A D$ 所成的角为 $45 °$ ．

(1)、求证：平面 $P^{'} A B ⊥$ 平面 $P^{'} A D$ ；

(2)、求四棱锥 $P^{'} - A B C D$ 的体积；

(3)、求二面角 $C - P^{'} A - D$ 的正切值．

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17、甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{1}{3}$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动．

(1)、求小队猜对3个谜题的概率；

(2)、求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率．

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18、如图所示，平面 $α \cap$ 平面 $β = l$ ，平面 $α \cap$ 平面 $γ = a$ ，平面 $β \cap$ 平面 $γ = b$ ，点 $P \in$ 平面 $γ$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $α$ ， $P B ⊥$ 平面 $β$ ．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 直线 $A B$ ；

(2)、若直线 $l //$ 直线 $a$ ，证明：直线 $a //$ 直线 $b$ ．

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19、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $D C$ ， $A B$ 的中点，将面 $A D M N$ 沿 $M N$ 翻折形成三棱柱 $A N B - D M C$ ，使得平面 $A D M N$ 与平面 $B C M N$ 所成的角为 $60 °$ ，且 $A B < 2 \sqrt{3}$ ．则 $B M$ 与平面 $A D M N$ 所成角的正弦值为；三棱柱 $A N B - D M C$ 所在外接球的表面积为．

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20、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为6， $P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A D$ ， $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $M N$ 垂直 B、直线 $B_{1} P //$ 平面 $B M N$ C、三棱锥 $P - B M N$ 的体积为9 D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面是等腰梯形

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