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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 绕着 $y$ 轴旋转一周构成双曲面 $D$ ，其中 $C$ 在旋转过程中的所有实轴落在 $x O z$ 平面内，设 $x O z$ 所在的平面为 $α$ ，平面 $β$ 满足 $α // β$ ，且 $α$ 与 $β$ 之间的距离为 $\sqrt{3} b$ .

(1)、若点 $P (x, z, y)$ 在 $D$ 上，试用含 $x, z, y$ 的方程表示 $D$ （不用说明理由）.

(2)、设 $T_{α}, T_{β}$ 分别是 $α, β$ 截得 $D$ 的截面.
（i）设 $l_{α}, l_{β}$ 分别为 $T_{α}, T_{β}$ 上的弦，求 $l_{α}, l_{β}$ 所在直线间的距离的取值范围；
（ii）已知截面 $T_{β}$ 的圆周上的点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 恰好构成正 $n$ 边形的顶点， $P$ 为 $D$ 上一动点，若对任意 $a > b > 0, λ |\sum_{i = 1}^{n} \vec{P A_{i}}| \geq n \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x} - 2 e^{1 - x} (x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的零点个数；

(3)、证明： $f (x) \geq 3 ln x$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c (2 - \cos A) = a \cos C$ .

(1)、求 $\frac{\sin B}{\sin C}$ 的值；

(2)、若 $A = 60 °$ ， $b = 6$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，求AD的长.

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4、函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 6$ 的极小值是.

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5、设集合 $A = \{\vec{a} ∣ \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), a_{1}, a_{2}, a_{3} \in R\}$ ，且 $\forall x \in R, \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \in A, \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) \in A$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}), x \vec{a} = (x a_{1}, x a_{2}, x a_{3})$ .定义运算：若满足① $\forall \vec{a} \in A, ‖ \vec{a} ‖ \geq 0$ ，且当且仅当 $\vec{a} = (0, 0, 0)$ 时， $‖ \vec{a} ‖ = 0$ ， ② $\forall \vec{a} \in A, x \in R, ‖ x \vec{a} ‖ = |x| \cdot ‖ \vec{a} ‖$ ， ③ $\forall \vec{a}, \vec{b} \in A, ‖ \vec{a} + \vec{b} ‖ \leq ‖ \vec{a} ‖ + ‖ \vec{b} ‖$ 这三个条件，则称为 $A$ 上的范数.下列结论正确的是（）

A、若为 $A$ 上的范数，且 $\exists x, y \in R, \vec{a}, \vec{b} \in A ‖ x \vec{a} +, y \vec{b} ‖ = 0$ ，则 $x = y = 0$ B、若为 $A$ 上的范数，则 $\forall x, y \in R, \vec{a}, \vec{b} \in A, ‖ x \vec{a} + y \vec{b} ‖ \leq |x| \cdot ‖ \vec{a} ‖ + |y| \cdot ‖ \vec{b} ‖$ C、定义运算 $⌈⌉ : \forall \vec{a} = (x, y, z) \in A, ⌈\vec{a}⌉ = {(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z})}^{3}$ ，则为 $A$ 上的范数 D、定义运算 $⌊⌋ : \forall \vec{a} = (x, y, z) \in A, ⌊\vec{a}⌋ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ ，则为 $A$ 上的范数

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6、如图，在直三棱柱 $A B C - D E F$ 中， $A D = A B = B C = 2, A B ⊥ B C, M$ 为 $A D$ 的中点，则（）

A、 $M E ⊥ E C$ B、三棱锥 $F - M E C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ C、直线 $M E$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、三棱锥 $E - A B C$ 的外接球的表面积为 $4 \sqrt{3} π$

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对于任意的 $y > x > 0$ ，都有 $x f (y) - y f (x) + x^{2} y - x y^{2} > 0$ ．若 $f (4) = 4$ ，且 $f (x + a) < x^{2} + (2 a - 3) x + a^{2} - 3 a$ 在 $x \in [1, 4]$ 时恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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8、由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}, F_{1}, F_{2}$ 分别为 $C$ 的左､右焦点， $C$ 上一点 $P$ 满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{7}{2}$ ，则 $C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{7} π$ B、 $2 \sqrt{7} π$ C、 $\sqrt{14} π$ D、 $2 \sqrt{14} π$

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9、将函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, \frac{1}{2}]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$

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10、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0$ 上恰有两个点到直线 $l : x + y + m = 0 (m > 0)$ 的距离为2，则m的取值范围是（）

A、 $(3 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2})$ B、 $(3 \sqrt{2} + 1, 7 \sqrt{2} + 1)$ C、 $(2 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2})$ D、 $(2 \sqrt{2} + 1, 7 \sqrt{2} + 1)$

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11、已知 $p : \forall x \in (0, π)$ ， $\sin x < 1$ ； $q : \exists x \in R$ ， $x + |x| \leq 0$ .下列结论正确的是（）

A、p是真命题，q是真命题 B、p是真命题， $\neg q$ 是真命题 C、 $\neg p$ 是真命题，q是真命题 D、 $\neg p$ 是真命题， $\neg q$ 是真命题

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12、函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 5 x + a$ ，则 $f (a) =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 4$ C、4 D、6

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13、抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F， $A (2, - 4)$ 是抛物线C上一点，则 $|A F| =$ （）

A、10 B、8 C、6 D、4

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14、已知复数 $z = \frac{5 + i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、8 D、13

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15、如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最大值与最小值的和为（）

A、 $2$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $\frac{15}{2}$

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16、如图所示，一座小岛距离海岸线上的点 $P$ 的距离是 $2 km$ ，从点 $P$ 沿海岸正东 $12 km$ 处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为 $3 km / h$ ，步行的速度是 $5 km / h, t$ （单位： $h$ ）表示他从小岛到城镇所用的时间， $x$ （单位： $km$ ）表示小船停靠点距点 $P$ 的距离.

(1)、将 $t$ 表示为 $x$ 的函数，并注明定义域；

(2)、此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？

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17、某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有种（用数字作答）.

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) + f^{'} (x) = x ln x$ ， $f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{e}) \cdot e^{\frac{1}{e} - 1} > f (1)$ B、 $f (e) \cdot e^{e - 1} > f (1)$ C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 存在最小值

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19、若数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q (q \neq 0)$ 的等比数列，则下列说法不正确的是（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则 $a_{1} < 0$ ， $q < 0$ B、若数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，则 $a_{1} > 0$ ， $0 < q < 1$ C、若 $q > 0$ ，则 $a_{5} < a_{6}$ D、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $\{b_{n}\}$ 是等比数列

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - a^{2} - 7 a$ 在 $x = 1$ 处取得极小值10，则 $\frac{a}{b}$ 的值为（）

A、2或 $- \frac{2}{3}$ B、 $- 2$ 或 $- \frac{2}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{2}{3}$

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