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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、若直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，则 $m = - 3$ B、 $\forall a \in (0, 1)$ ，都有原点 $O$ 在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 a$ 外 C、一条光线从点 $A (- 2, 3)$ 射出，经 $x$ 轴反射后，与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射后光线所在的直线方程为 $4 x - 3 y - 1 = 0$ D、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 2 = 0$ 的公切线恰有2条

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2、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{2}$ ，空间中的点 $M$ 满足： $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} B} + μ \vec{A_{1} D_{1}}$ ，其中 $λ \in R, μ \in R$ ，且 $\frac{M A}{M B} = \sqrt{2}$ ，则点 $M$ 的轨迹的长度为（）

A、 $6 π$ B、 $3 π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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3、“ $- 2 \leq b < 2$ ”是“直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 恰有1个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{A M}$ 相等的向量是（　　）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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5、已知椭圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6、若复数 $z$ 满足 $z = i (i - 1)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2} i$ D、 $\sqrt{2}$

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7、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为 $X$ ；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为 $Y$ .则 $P (X = Y) =$ .

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 a x + 3 a, x < - 1, \\ x^{3} + 1, x \geq - 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[- 1, 1]$

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9、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，点 $P (x, y, z)$ ．
（1）若直线l经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{u}$ 为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证： $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$
（2）若平面 $α$ 经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{u}$ 为法向量，P是平面 $α$ 内的任意一点，求证： $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) +$ $c (z - z_{0}) = 0$ ．

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10、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A D_{1}$ ， $B D$ 的中点．

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{D_{1} B}$ ， $\vec{E F}$ ；

(2)、若 $\vec{D_{1} F} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，求 $\vec{D_{1} F}$ 在基 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标．

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11、设 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 为不同的两点，直线 $l : A x + B y + C = 0$ ，记 $λ = \frac{A x_{1} + B y_{1} + C}{A x_{2} + B y_{2} + C}$ ，当 $λ =$ 时，直线 $l$ 经过 $M N$ 的中点．

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12、与直线 $l : \sqrt{3} y - 3 x + 6 = 0$ 相交于 $(2, 0)$ 且与直线l夹角为 $\frac{π}{6}$ 的直线方程为．

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13、向量 $\vec{a} = (1, 0, k), \vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，若 $k \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ ．

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14、已知直线 $l_{1}$ ： $(a + 1) x + a y + 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $a x + (1 - a) y - 1 = 0$ ，则（）

A、 $l_{1}$ 的斜率可为任意值 B、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a^{2} = \frac{1}{2}$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a^{2} = 1$ D、当 $0 \leq a \leq 1$ 时， $l_{2}$ 不经过第三象限

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15、空间中，已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，那么“ $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 共面”的充分不必要条件是（）

A、存在唯一一组实数 $λ$ 、 $μ$ ，使得 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ B、 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ C、不存在实数 $λ$ 、 $μ$ ，使得 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ D、 $\vec{c} = \vec{0}$

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16、（多选）若圆上的点 $(2, 1)$ 关于直线 $x + y = 0$ 的对称点仍在圆上，且圆的半径为 $\sqrt{5}$ ，则圆的标准方程可能是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 5$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$ C、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$

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17、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面ABC为直角三角形且 $A B = A C = A A_{1}$ ， $\vec{B_{1} P} = λ \vec{C_{1} B_{1}}$ 且 $λ \in (- 1, - \frac{1}{2})$ ，求二面角 $P - A C - B$ 的平面角的余弦值的取值范围（）

A、 $[0, \frac{\sqrt{5}}{5}]$ B、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(0, \frac{\sqrt{5}}{5})$

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18、直线 $l_{1} : 5 x - 12 y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2} : 10 x - 24 y - 18 = 0$ 上各有一动点 $P$ 、 $Q$ ，那么 $|P Q|$ 最小值为（）

A、0 B、1 C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{22}{13}$

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19、曲线 $| x |^{2} + {(|y| - 4)}^{2} = 1$ 所表达的图形是（）

A、以 $(0, 4)$ 为圆心 $1$ 为半径的圆 B、以 $(0, 4)$ 为圆心 $1$ 为半径的圆面 C、以 $(0, 4)$ 为圆心1为半径的圆和以 $(0, 4)$ 为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D、以 $(0, 4)$ 为圆心1为半径的圆和以 $(0, - 4)$ 为圆心，1为半径的圆

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20、圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ 上到点 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ 距离最小的点的坐标为（）

A、 $(0, 0)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(6, 8)$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{279} + 16}{4})$

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