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相关试卷

1、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 的夹角的余弦值；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A D_{1} E$ 的距离.

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2、已知点 $P$ 为等腰 $△ A B C$ 外接圆 $⊙ M$ 上的一个动点， $A C = 2 B C = 4$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围为.

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2}, x \leq 0, \\ \log_{2} x, x > 0. \end{array}$ 若 $f (a) + f (- 1) = 2$ ，则 $a =$ ．

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4、如图，两个边长均为1的正方形 $A B C D$ 与正方形 $A B E F$ 所在的平面互相垂直.点 $M$ ， $N$ 分别是对角线 $A C$ ， $B F$ 上的动点，且 $C M$ ， $B N$ 的长度相等，记 $C M = B N = a (0 < a \leq \sqrt{2})$ ，点 $P$ 是线段 $M N$ 上的一点.下列结论正确的是（）

A、 $M N = \sqrt{2} - a$ B、 $M N$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、三棱锥 $C - P B E$ 与三棱锥 $B - M C E$ 的体积相等 D、若点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 在同一个球的球面上，则该球的体积是 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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5、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则下列说法正确的有（）

A、 $z$ 的虚部为 $- 1$ B、 $\bar{z} = - 2 - i$ C、 $|z| = \sqrt{5}$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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6、早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离.对该测量过程进行简化后，得到如下平面示意图，设 $O$ 为地心， $C$ 为月球表面上一点， $A, B$ 为圆 $O$ 上不同的两点，地球半径 $O A$ 的长记为 $R$ ，经测量， $∠ A O B = \frac{π}{2}, ∠ C A B = α = \frac{5 π}{12}, ∠ C B A = β = \frac{π}{3}$ ，则地月距离OC用 $R$ 可以表示为（）

A、 $\sqrt{4+ \sqrt{3}} R$ B、 $\sqrt{4- \sqrt{3}} R$ C、 $\sqrt{7} R$ D、 $(\sqrt{3} +1) R$

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7、四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为2，中位数为1 B、中位数为3，众数为2 C、中位数为3，极差为4 D、平均数为2，方差为2.4

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8、下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上为增函数的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \cos 2 x$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = sin \frac{x}{2}$

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9、已知函数 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x} + 2, x \in (0, 4)$ ，则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} +2$

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10、已知集合 $A = {x ∣ - 8 < x^{3} < 8}$ ， $B = {x \in Z ∣ x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 3, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - e$ ， $a \in R$ .（注： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）

(1)、若 $f (x)$ 无极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq \frac{1}{2} x^{3} + x - e + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、如图，在三棱锥 $P - A B Q$ 中， $P B ⊥$ 平面ABQ， $B A = B P = B Q = 2$ ， D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， $A B ⊥ B Q$ ， PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．

(1)、求证： $A B ∥ G H$ ；

(2)、求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；

(3)、求点A到平面PCD的距离．

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13、如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体 $B C F E G H$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{2} V$ B、 $\frac{4}{9} V$ C、 $\frac{5}{9} V$ D、 $\frac{3}{5} V$

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14、平行直线 $l_{1} : 2 x - 3 y + 2 = 0$ 与 $l_{2} : a y - x + 2 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{6}{13}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{6 \sqrt{13}}{13}$

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15、已知 $2 cos (2 α + β) - 3 cos β = 0$ ，则 $\tan α \tan (α + β) =$ （）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、-5 D、 $- \frac{1}{5}$

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16、设函数 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ .已知 $f (x_{1}) = 1, f (x_{2}) = 1$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ ，则 $ω =$ .

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17、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 2 a \cos x - a^{2} - b$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $b$ 的取值范围；

(2)、求 $f (x)$ 的值域；

(3)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $| f (x) | \leq 2$ ，求 $b - a$ 的最大值.

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18、在 $△ A B C$ 中， $B C$ ， $A C$ 边上的两条中线 $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ ，若 $A B : A M : A C = 6 : 7 : 10$ .

(1)、用 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 表示 $\vec{A M}, \vec{B N}$ ；

(2)、求 $∠ B A C$ ；

(3)、若 $\vec{A M} \cdot \vec{B N} = - 2$ ，求四边形 $P M C N$ 的面积.

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}, ∠ B_{1} B C = 60^{°}$ ，点 $M$ 为BC中点.

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A M C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A C = B C = 2 C C_{1}$ ，求直线AC与平面 $A M C_{1}$ 所成角的正弦值.

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20、为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示.
质量指标值
$[100, 110)$
$[110, 120)$
$[120, 130)$
$[130, 140)$
$[140, 150)$
频数
20
30
30
10
10

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；

(2)、现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在 $[120, 130)$ 和 $[130, 140)$ 两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率.

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质量指标值	$[100, 110)$	$[110, 120)$	$[120, 130)$	$[130, 140)$	$[140, 150)$
频数	20	30	30	10	10