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相关试卷

1、一条直线 $l$ 经过 $P (\sqrt{3}, - 3)$ ，并且倾斜角是直线 $y = \sqrt{3} x$ 的倾斜角的2倍，则直线 $l$ 的方程为．

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2、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90^{°}$ ，且 $A B = B C = C C_{1} = 2, M$ 为线段BC（不含端点）上的动点，则下列结论中正确的是（）

A、 $A B_{1} ⊥ A_{1} M$ B、异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} M$ 所成角的取值范围为 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ C、 $|A_{1} M| + |C_{1} M|$ 的最小值为 $3 + \sqrt{5}$ D、当 $M$ 是BC的中点时，过 $A_{1}, M, C_{1}$ 三点的平面截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球所得的截面面积为 $\frac{26}{9} π$

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3、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点E在线段 $C C_{1}$ 上运动，则（）

A、三棱锥 $A_{1} - A B_{1} E$ 的体积为定值 B、 $A_{1} E ⊥ B_{1} D_{1}$ C、若E为线段 $C C_{1}$ 的中点，则点E到直线 $B_{1} D$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、存在某个点E，使直线 $A_{1} E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角为 $60 °$

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4、下面四个结论中正确的是（）

A、点 $P (1, - 1, 2)$ 关于 $x O y$ 平面对称的点的坐标是 $(1, - 1, - 2)$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角是钝角 C、若对空间中任一点O，有 $\vec{O M} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C},$ 则 $M, A, B, C$ 四点共面 D、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{c}\}$ 也是空间的一个基底

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $M, N$ 分别是底面 $A B C D$ 与侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 的中心， $P$ 为该正方体表面上的一个动点，且满足 $P M ⊥ B E$ ，记点 $P$ 的轨迹所在的平面为 $α$ ，则过 $N, C, B_{1}, C_{1}$ 四点的球面被平面 $α$ 截得的圆的周长是（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} π$ C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3} π$

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6、如图，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $M$ 是平面 $A B C D$ 内的一个动点，且满足 $| M P | = | M C |$ ，则点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内的轨迹是（）

A、 B、 C、 D、

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7、如图，已知平行四边形 $A B C D, A B = \sqrt{3}, A D = \sqrt{7}$ 且 $A B ⊥ B D$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，当二面角 $A - B D - C$ 为 $120 °$ 时，则 $A$ 与 $C$ 之间距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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8、一条光线从 $P (6, 4)$ 射出，经直线 $y = x - 1$ 后反射，反射光线经过点 $Q (2, 0)$ ，则反射光线所在直线方程为（）

A、 $3 x - 5 y + 2 = 0$ B、 $5 x - 3 y - 10 = 0$ C、 $5 x + 3 y - 10 = 0$ D、 $3 x - 5 y - 6 = 0$

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9、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间向量的一组基底， $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 是空间向量的另一组基底，若向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标为 $(4, 0, 2)$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} + \vec{c}\}$ 下的坐标为（）

A、 $(1, 1, 3)$ B、 $(1, - 1, 3)$ C、 $(- 1, 1, 3)$ D、 $(1, 1, - 3)$

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10、已知空间中三点 $A (- 1, 1, 1)$ ， $B (0, 2, 1)$ ， $C (- 2, 1, 3)$ ．

(1)、设 $|\vec{c}| = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{A B}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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11、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{P F} = \vec{F D}, \vec{P E} = 2 \vec{E B}$ ，设平面 $A E F$ 与直线 $P C$ 交于点 $G, \vec{P G} = λ \vec{G C}$ ，则 $λ =$ .

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12、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中， $\vec{O A} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{O B} = (1, 1, 2)$ ， $\vec{O P} = (2, 1, 1)$ ，点 $Q$ 在直线 $O P$ 上运动，则 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、已知空间向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 0, 1), \vec{b} = (\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知椭圆 $E$ 的两个焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ 和 $F_{2} (1, 0)$ ，点 $Q$ 为椭圆 $E$ 的上顶点， $△ Q F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $P$ 为椭圆 $E$ 上一动点，求点 $P$ 到直线 $l : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 距离的最值；

(3)、分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作平行直线 $m, n$ ，若直线 $m$ 与曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $n$ 与曲线 $E$ 交于 $C, D$ 两点，其中点 $A, D$ 在 $x$ 轴上方，求四边形 $A F_{1} F_{2} D$ 的面积的取值范围．

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15、已知过定点 $T (4, 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程．

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6, 8)$ ，端点 $A$ 在圆 $O$ 上运动， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（i）求曲线 $C$ 方程；
（ii）已知点 $P$ 为直线 $x + y - 2 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作曲线 $C$ 的两条切线，切点分别为 $E$ 、 $F$ ，判断直线 $E F$ 是否过定点?求出该定点，并说明理由；

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16、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D > A Q$ ， $P D / / Q A$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = 2 A Q = 2$ ， $P D = 2$ ．

(1)、求证： $Q B / /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P Q B$ 夹角的余弦值．

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17、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的平均数和众数；

(3)、用分层抽样的方法在分数落在 $[60, 80)$ 内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在 $[70, 80)$ 内的概率．

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $E$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，则 $△ A B C$ 的周长为．

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19、已知 $M, N$ 是相互独立事件，且 $P (M) = 0.4, P (N) = 0.3$ ，则 $P (M \cup N) =$ ．

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20、已知 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、 $\frac{2 x + y}{x - 1} \in (- \infty, 2] \cup [\frac{10}{3}, + \infty)$ B、 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 10$ 的最大值为26 C、 $|3 x + 4 y - 12|$ 的最小值是 $\frac{2}{5}$ D、 $2 \sqrt{13 - 6 y} - \sqrt{20 - 8 x}$ 的最大值是 $2 \sqrt{10}$

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