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1、下列命题正确的是（）

A、单位向量均相等 B、任一向量与它的相反向量不相等 C、模为零的向量与任一向量平行 D、模相等的两个共线向量是相同的向量

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2、通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对 $(z_{1}, z_{2})$ （ $z_{1}, z_{2} \in C$ ）看作一个向量，记作 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ，称 $\vec{a}$ 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ， $\vec{b} = (z_{3}, z_{4})$ （ $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in C$ ），我们定义复向量运算法则：①加法： $\vec{a} + \vec{b} =$ $(z_{1} - z_{3}, z_{2} - z_{4})$ ；②减法： $\vec{a} - \vec{b} = (z_{1} + z_{3}, z_{2} + z_{4})$ ；③数乘： $k \otimes \vec{a} = (\bar{k} z_{1}, \bar{k} z_{2}) (k \in C)$ ；④数量积： $\vec{a} \cdot \vec{b} = z_{1} \bar{z_{3}} + z_{2} \bar{z_{4}}$ ；⑤模： $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ .

(1)、设 $\vec{a} = (1, 2 - i)$ ， $\vec{b} = (1 + i, 2 i)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、验证复向量结合律： $k \otimes (\vec{a} + \vec{b}) = k \otimes \vec{a} + k \otimes \vec{b}$ 是否成立；

(3)、设 $\vec{a} = (2 + 2 i, 2 i)$ ，集合 $Ω = \{\vec{p} |\vec{p} = (z, z + 2 i), z \in C\}$ ， $\vec{b} \in Ω$ ，求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值；并证明当 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 取最小值时，对于任意的 $\vec{c} \in Ω$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0$ .

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3、已知圆 $A$ 为单位圆，正方形 $A B C D$ 的边长为 $\sqrt{2}$ .

(1)、如图1，求正方形 $A B C D$ 中不与圆 $A$ 重叠部分的面积T；

(2)、将圆A沿边 $A D$ 所在的直线向上翻折（以 $A D$ 为轴）.动点 $P, E$ 位于翻折后的两个不同的半圆上（如图2所示），动点F在边 $B C$ 上，动点G在边 $C D$ 上，且四边形 $E F C G$ 始终为矩形，求四棱锥 $P - E F C G$ 的最大体积V.

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4、如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东 $75 °$ 的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成 $△ A B C$ .其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角.

(1)、若满足关系式： $a \cos B + b \cos A = 2 c \cos A$ ，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）；

(2)、巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若 $△ A B C$ 满足关系式： $2 \cos A = \frac{\sin C}{\sin B}$ ，求 $b + \sqrt{2} c$ 的最大值.

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5、已知 $0 < α < \frac{π}{4}$ ， $0 < β < \frac{π}{4}$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{5}$ ， $\cos (α - β) = \frac{3}{5}$ .

(1)、分别求 $\sin α \sin β$ ， $\cos α \cos β$ ， $\tan α \tan β$ 的值；

(2)、求 $\tan α + \tan β + 2 \sqrt{6} \tan α \tan β$ 的值.

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6、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C_{1} F //$ 平面AOE；

(2)、证明： $A C ⊥ O E$ .

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7、已知函数 $f (x) = \log_{2} (2^{x} + 1)$ 的图象上存在点M，函数 $g (x) = - x - a$ 的图象上存在点N，且当 $x \in [0, e]$ 时，存在点M，N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是.

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8、已知平行四边形 $A B C D$ ，对角线 $A C = 2 \sqrt{7}$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 4$ ，则边 $A D =$ .

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9、在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中 $A C = B C$ ，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为.

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10、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为正方体的中心，M为 $D D_{1}$ 的中点，F为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F //$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 $\sqrt{2}$ B、直线 $A B_{1}$ 与 $A_{1} D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积为定值 D、若过A，M， $C_{1}$ 三点作正方体的截面 $Ω$ ， Q为截面 $Ω$ 上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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11、声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ .已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数 $y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，下列说法正确的是（）

A、该函数是偶函数 B、该函数的最小正周期为 $2 π$ C、该函数的最大值为 $\frac{11}{6}$ D、该函数的图象关于 $(2 π, 0)$ 对称

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12、设复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i) z = 1 + 2 i$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $\frac{2}{5} i$ B、 $z \cdot \bar{z} = \frac{1}{5}$ C、 $|z| = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、若 $a + z$ 为虚数，则 $a = \frac{1}{5}$

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13、已知函数 $f (x)$ 在定义域 $(0, + \infty)$ 上单调，若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (f (x) - \log_{2} x) = 3$ ，则 $f (2^{2025}) - 2$ 的值是（）

A、 $2^{2025}$ B、 $2^{2027}$ C、2025 D、2027

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14、已知集合 $A = {x |\ln x + 2 x - 6 = 0}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则符合条件的一个集合B是（）

A、 $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 > 0\}$ B、 $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 < 0\}$ C、 $B = {x |e < x < 3}$ D、 $B = {x |x > e}$

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15、已知 $\sin (α - β) \cos α - \cos (β - α) \sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $β$ 是第四象限角，则 $\cos (β + \frac{5 π}{4})$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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16、已知平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 和直线 $m$ ， $n$ ， $c$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ B、若 $m ⊥ c$ ， $n ⊥ c$ ，则 $m // n$ C、若 $α // γ$ ， $β // γ$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m // β$

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC上靠近 $B$ 的一个三等分点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A D}$ 可以用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示为（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{A D} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ C、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$

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18、已知复数 $z_{1} = a + 2 i$ 与 $z_{2} = 3 + b i$ 互为共轭复数，则 $z_{1} z_{2}$ 的值是（）

A、4 B、6 C、9 D、13

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19、若 $\vec{a} = (6, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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20、 $\sin 75 ° \cos 30 ° - \sin 30 ° \cos 75 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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