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相关试卷

1、某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为 $\frac{4}{5}$ ，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为 $\frac{2}{5}$ ；外层包装为B型的概率为 $\frac{1}{5}$ ，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为 $\frac{9}{10}$ ．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立）

(1)、求每个盲盒含限量版商品的概率；

(2)、设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布；

(3)、若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率．

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2、如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ ，且 $A B = 2$ ，点E，F，G分别为棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A F C / /$ 平面 $E B_{1} G$ ；

(2)、求锐二面角 $B - A C - B_{1}$ 的余弦值．

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3、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} + S_{3} = 12$ ， $a_{5} = 9$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x}}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为

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5、若点 $P (m, 2 \sqrt{2})$ 是抛物线 $C : y^{2} = - 4 x$ 上一点，F为抛物线C的焦点，连 $P F$ 交抛物线C于另一点Q，则（）

A、 $m = - 2$ B、 $| P F | = 3$ C、 $O P ⊥ O Q$ （O为坐标原点） D、 $| P F | = 2 | Q F |$

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6、已知直线 $l$ 为曲线 $f (x) = e^{x} - 1$ 与 $g (x) = \ln x + 1$ 的公共切线，则直线 $l$ 的方程可以为（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = e x - 1$ D、 $y = e x + 1$

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{12} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、3

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8、已知变量x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为 $\hat{y} = 10.5 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a}$ 等于
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80

A、0.5 B、1.5 C、2 D、2.5

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9、样本数据2，4，5，6，8的中位数为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $5$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $6$

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10、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{1}{x}$ ，直线l是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t, f (t))$ 处的切线．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在直线l经过点 $(0, 0)$ ，求实数a的取值范围．

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11、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面PBC，平面 $P A B ⊥$ 平面ABC．

(1)、证明： $B C ⊥ A B$ ；

(2)、若 $A P = B C = \sqrt{6}$ ， PC与平面PAB所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．

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12、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、已知 $a = 7$ ， D是BC边的中点，且 $A D ⊥ A C$ ，求AD的长．

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13、某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有种（用数字作答）．

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = - 1, S_{7} = 5 a_{4} + 10$ ，则 $S_{4} =$ ．

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（）

A、若直线BD的斜率为1，则 $|B D| = 8$ B、以BD为直径的圆与y轴相切 C、 $E F ⊥ G F$ D、B，O，G三点共线

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16、为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
假设经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.28$ ，则（）
（参考公式：相关系数为 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ）

A、 $\hat{b} = 0.24$ B、当 $x = 4$ 时，对应的残差为0.04 C、样本数据y的第40百分位数为0.8 D、去掉点 $(3, 1)$ 后，x与y的样本相关系数r不变

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17、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与E交于M，N两点．若 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{7}{9}$ ， $|M N| = |M F_{1}|$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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18、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (x - 1) e^{x}, x < 1 \\ a x + 1, x \geq 1 \end{matrix}$ 有最大值，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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19、满足等式 $\{0, 1\} \cup X = \{x \in R |x^{3} = x\}$ 的集合X共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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20、已知 $(1 + i) z = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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x	1	2	3	4	5
y	0.5	0.8	1	1.2	1.5