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相关试卷

1、将所有平面向量组成的集合记作 $R^{2}$ .如果对于向量. $\vec{x} = (x_{1}, x_{2}) \in R^{2}$ ，存在唯一的向量 $\vec{y} = (y_{1}, y_{2}) \in R^{2}$ 与之对应，其中坐标 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 由 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 确定，则把这种对应关系记为. $\vec{y} = f (\vec{x})$ 或者 $(y_{1}, y_{2}) = f (x_{1}, x_{2})$ 简记为 $f$ .例如 $(y_{1}, y_{2}) = f (x_{1}, x_{2}) = (2 x_{1} + x_{2}, x_{1}^{2})$ 就是一种对应关系.若在 $|\vec{x}| = 1$ 的条件下 $|\vec{y}|$ 有最大值，则称此最大值为对应关系 $f$ 的模，并把 $f$ 的模记作 $‖f‖$ ；若存在非零向量 $\vec{x} \in R^{2}$ 及实数 $λ$ 使得 $f (\vec{x}) = λ \vec{x}$ ，则称 $λ$ 为 $f$ 的一个特征值，

(1)、如果 $f (x_{1}, x_{2}) = (3 x_{1}, 3 x_{2})$ ，求 $‖f‖$ ；

(2)、如果 $f (x_{1}, x_{2}) = (2 x_{1} + 4 x_{2}, x_{1} - x_{2})$ ，计算 $f$ 的特征值，并求相应的 $\vec{x}$ ；（若符合条件的向量 $\vec{x}$ 有多个，写出其中一个即可）

(3)、若 $f (x_{1}, x_{2}) = (a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2}, b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2})$ ，要使 $f$ 有唯一的特征值，实数 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ 应满足什么条件?试找出一个对应关系 $f$ ，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值 $λ$ ， ② $‖f‖ = |λ|$ ，并验证 $f$ 满足这两个条件.

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2、如图，等腰直角三角形 $A B C$ 所在平面与半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 所在平面垂直， $O$ 为 $A B$ 的中点，且 $A C = B C$ ， $M$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的点， $N$ 是 $A M$ 的中点.

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $O C N$

(2)、若圆 $O$ 的半径为 $1$ ，设 $∠ M A B = α$ ，
（i）当 $α = 30^{\circ}$ 时，求二面角 $C - A M - B$ 的平面角的正切值；
（ii）当 $M$ 在弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上运动时（不与 $A$ 、 $B$ 重合），证明：点 $O$ 到平面 $B C M$ 的距离 $d = \frac{\cos α}{\sqrt{1 + \cos^{2} α}}$ .

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3、DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训.

(1)、已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率；

(2)、此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率.

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4、在 $△ A B C$ 中，已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边，记 $\vec{m} = (2 c, 1) ，$ $\vec{n} = (2 a - b, \cos B) ，$ 且 $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = \sqrt{3} ，$ 求 $2 b - a$ 的取值范围.

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5、为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了 $100$ 名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照 $[0, 2)$ 、 $[2, 4)$ 、 $[4, 6)$ 、 $[6, 8)$ 、 $[8, 10]$ 分成 $5$ 组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、根据频率分布直方图估计样本数据的第 $80$ 百分位数；

(3)、根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这 $100$ 名住户上周体育锻炼时间的平均值.

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6、已知正四面体的棱长为 $4 \sqrt{6}$ ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 $2 \sqrt{6}$ 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为.

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7、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30^{\circ} ， ∣ \vec{a} ∣ = 4 \sqrt{3} ， \vec{b} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) ，$ 则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量 $\vec{c}$ 的坐标为.

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8、在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AC与A₁B所成角的大小为.

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9、如图，在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C_{1} Q} = λ \vec{C_{1} B_{1}} + μ \vec{C_{1} C} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ B、若 $D_{1} Q //$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则四面体 $D P Q A_{1}$ 的体积为定值 D、平面 $A_{1} P D$ 截正方体的截面面积为 $18$

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10、下列说法中正确的是（）

A、数据 $2$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $10$ 、 $11$ 的下四分位数为 $3$ B、若 $A$ 、 $B$ 为互斥事件，则 $A$ 的对立事件与 $B$ 的对立事件一定互斥 C、设样本数据 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $\dots$ 、 $x_{9}$ 、 $x_{10}$ 的平均数和方差分别为 $2$ 和 $8$ ，若 $y_{i} = 2 x_{i} + 1 (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 、 $\dots$ 、 $y_{9}$ 、 $y_{10}$ 的平均数和方差分别为 $5$ 和 $32$ D、已知 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.4$ ，且 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = 0.2$

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11、若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 + 3 i$ （ $i$ 是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、 $z = 3 - i$ B、 $\bar{z}$ 的模为 $4$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $z - 2 \bar{z} = - 3 - 3 i$

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12、十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.在费马提到的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于 $120^{\circ}$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成 $120^{\circ}$ 角；当三角形有一内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，所求的点为三角形最大内角的顶点.已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边，且 $a^{2} - {(b - c)}^{2} = 8$ ， $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ，若 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 6$ D、 $- \frac{3}{2}$

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13、如图，在△ABC中， $\vec{P C} = 2 \vec{B P} ，$ 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 $\vec{A B} = m \vec{A M} ， \vec{A C} = n \vec{A N} ，$ 其中m，n>0，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、如图，某几何体可看成是 $3$ 个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的 $4$ 倍，若几何体I、II、III的高之比分别为 $2 : 3 : 5$ ，则几何体I、II、III的体积之比为（）

A、 $2 : 6 : 15$ B、 $9 : 15 : 25$ C、 $6 : 21 : 35$ D、 $9 : 21 : 56$

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15、位于灯塔 $A$ 处正西方相距 $30$ 海里的 $B$ 处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔 $A$ 处北偏东 $45^{\circ}$ 方向有一与灯塔 $A$ 相距 $10 \sqrt{2}$ 海里的 $C$ 处有一艘乙船，则乙船前往支援 $B$ 处甲船需要航行的最短距离是（）

A、 $10 \sqrt{5}$ 海里 B、 $10 \sqrt{17}$ 海里 C、 $8 \sqrt{17}$ 海里 D、 $30$ 海里

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16、已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $6 π$ B、 $12 π$ C、 $3 π$ D、 $2 π$

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17、某班有男生 $36$ 人，女生 $20$ 人，现在要用性别比例分配的分层随机抽样方法从该班中抽取 $14$ 人参加跳绳比赛，则男生被抽取的人数为（）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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18、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (m, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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19、已知复数 $z = \frac{5 + i}{1 - i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $2 + 3 i$

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20、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，上下顶点分别为 $B_{1}$ 、 $B_{2}, △ B_{1} F_{1} F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，过焦点的直线交椭圆 $Γ$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点（ $P$ 、 $Q$ 分别在第一、四象限）.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的离心率；

(2)、已知点 $M (0, m)$ ， $m > 0$ ，求椭圆 $Γ$ 上的动点 $R$ 到点 $M$ 的最大距离；

(3)、求四边形 $B_{1} B_{2} Q P$ 面积的取值范围.

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