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相关试卷

1、设 $l$ ， $m$ 是两条不同直线， $α$ ， $β$ 是两个不同平面，下列命题为真命题的是（）

A、若 $l ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $α / / β$ B、若 $l / / α$ ， $m / / α$ ，则 $l / / m$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l // β$ 或 $l \subset β$ D、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ α$ ，则 $m / / α$ 或 $m \subset α$

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2、已知点 $P$ 为圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上一动点，若直线 $x - \sqrt{3} y + 6 = 0$ 上存在两点 $A$ ， $B$ ，满足 $|A B| = 4$ ，且 $∠ A P B = 90 °$ ，则 $r$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）

A、3699块 B、3474块 C、3402块 D、3339块

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4、在四面体 $A B C D$ 中， $E$ 为棱 $A D$ 的中点，点 $F$ 为线段 $B E$ 上一点，且 $\vec{B F} = 4 \vec{F E}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{m}$ ， $\vec{A C} = \vec{n}$ ， $\vec{A D} = \vec{t}$ ，则 $\vec{C F} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} \vec{m} - \vec{n} - \frac{2}{5} \vec{t}$ B、 $\frac{1}{5} \vec{m} - \vec{n} + \frac{2}{5} \vec{t}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{m} + \vec{n} - \frac{2}{5} \vec{t}$ D、 $\frac{2}{5} \vec{m} - \vec{n} + \frac{1}{5} \vec{t}$

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5、抛物线 $y = - 2025 x^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $x = \frac{2025}{2}$ B、 $x = \frac{2025}{4}$ C、 $y = \frac{1}{4050}$ D、 $y = \frac{1}{8100}$

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6、已知直线 $l_{1} : 2 x + 3 y - 1 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x + (m + 1) y + 2 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、1

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7、若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > \sqrt{3})$ 的长半轴长等于其焦距，则 $a =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4$

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8、已知直线 $l$ 经过点 $M (- 1, 0)$ ， $N (0, 7)$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $7 x + y + 7 = 0$ B、 $7 x + y - 7 = 0$ C、 $7 x - y - 7 = 0$ D、 $7 x - y + 7 = 0$

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9、已知圆 $C$ ： ${(x + 6)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 49$ 和点 $A (0, - 4)$ ， $B (0, 2)$ ，若点 $M$ 在圆 $C$ 上，且 ${|A M|}^{2} + {|B M|}^{2} = m^{2}$ ，则实数 $m$ 的最小值是．

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10、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，试写出一个半径为1，且与 $x$ 轴和圆 $C$ 都相切的圆的标准方程：.

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11、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} = 2 n + 1$ ，若 $a_{3} = 1$ ，则 $a_{1} =$ ．

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12、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $k$ 项和为 $T_{k}$ .已知当且仅当 $n = 7$ 时， $S_{n}$ 取得最大值，则（）

A、若 $S_{6} < S_{8}$ ，则当且仅当 $k = 14$ 时， $T_{k}$ 取得最大值 B、若 $S_{6} > S_{8}$ ，则当且仅当 $k = 15$ 时， $T_{k}$ 取得最大值 C、若 $S_{6} = S_{8}$ ，则当 $k = 13$ 或14时， $T_{k}$ 取得最大值 D、若 $\exists m \in N^{*}$ ， $S_{m} = 0$ ，则当 $k = 13$ 或14时， $T_{k}$ 取得最大值

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = 2^{n} - 1$ ，在其相邻两项 $a_{k}, a_{k + 1}$ 之间插入 $2^{k}$ 个 $3 (k \in N^{*})$ ，得到新的数列 $\{b_{n}\}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使 $S_{n} \geq 100$ 成立的 $n$ 的最小值为（）

A、28 B、29 C、30 D、31

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14、经过椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左焦点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的长为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{7}$ C、2 D、 $\frac{16 \sqrt{2}}{7}$

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15、已知 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，若圆 ${(x - a - 1)}^{2} + {(y - 3 a + 2)}^{2} = 4$ 上存在点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 5$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $[- 2, 1]$ C、 $[- 2, 3]$ D、 $[- 3, 2]$

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{b} = (3, x, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，那么 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{11}$ D、5

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17、直线 $l$ 过点 $A (- 4, \sqrt{3})$ ， $B (- 1, 0)$ ，则 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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18、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 5$ ， $a_{6} = 3$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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19、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点 $F$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上， $O$ 为圆心，点 $C$ 在半径 $O B$ 上（不与 $O$ 点重合），且 $O F ⊥ A B$ ．设 $A C = a, B C = b$ ，则 $O C =$ （用 $a, b$ 表示），由 $F C > O F$ 可以得出的关于 $a, b$ 的不等式为．

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20、已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 $α \in$ .

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