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相关试卷

1、函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2}$ 在 $(\frac{1}{2}, 2)$ 内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2 \sqrt{e}}, \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{8 \sqrt{e}}, \frac{2}{e^{2}})$ C、 $(\frac{2}{e^{2}}, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{8 \sqrt{e}}, \frac{1}{2 \sqrt{e}})$

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2、已知 ${(x^{2} - x + 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{3} =$ （）．

A、 $- 120$ B、 $- 160$ C、 $- 200$ D、 $- 440$

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3、若 $x^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ，则 $a_{8}$ 的值为（）

A、10 B、45 C、 $- 9$ D、 $- 45$

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）．

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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5、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 3\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x < 0, x \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{x |0 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 2 < x < 5\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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6、已知函数 $f (x) = k \cdot 2^{x} + 2^{- x}$ 是定义域为 $R$ 上的偶函数．

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、解不等式 $f (5 - 3 x) > f (x + 3)$ ；

(3)、若 $g (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 2 m f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的值．

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，且满足 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 5 x + \frac{4}{x}$ ，则 $f (x)$ 的最小值为．

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8、设 $a, b \in R$ ，集合 $A = \{- 1, a\}, B = \{b, 1\}$ ，若 $A = B$ ，则 $a + b =$ ．

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9、（多选题）关于函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的单调性的叙述正确的是（）

A、函数在 $(- \infty, 0)$ 上是递增的 B、函数在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上是递增的 C、函数在 $[0, + \infty)$ 上是递增的 D、函数的递增区间是 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$

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10、已知正数 $x$ 满足 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ ，则 $x + x^{- 1} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11、已知 $- 1 \leq x + y \leq 2$ ， $0 \leq 2 x - y \leq 3$ ，则 $5 x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $2 \leq 5 x + 2 y \leq 7$ B、 $- 3 \leq 5 x + 2 y \leq 8$ C、 $- 2 \leq 5 x + 2 y \leq 6$ D、 $- 3 \leq 5 x + 2 y \leq 9$

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12、若集合 $A = \{x |x < 1$ 或 $x > 2\}$ ， $B = \{x |- 1 < x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ C、 $\{x |x < 1$ 或 $x > 2\}$ D、 $\{x |- 1 < x < 1$ 或 $2 < x < 3\}$

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13、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 3, 4\}$ ，集合 $B = \{1, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{1, 4\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{1, 3, 4\}$

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14、如图，已知 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A C, ∠ A C B = ∠ B A D$ .

(1)、若 $b = c$ ，求 $\frac{C D}{B D}$ 的值；

(2)、若 $\frac{C D}{B D} = 3$ ，求 $tan C$ 的值；

(3)、求 $\frac{c^{2} - B D^{2} + b^{2}}{a^{2} + c^{2}}$ 的取值范围.

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15、每个面都是正多边形的凸多面体称为阿基米德多面体.现从一个棱长为2的正方体的每个角处，切去一个大小相同的正三棱锥，得到一个阿基米德多面体.

(1)、若截得的阿基米德多面体如图所示，求其表面积；

(2)、当截得的阿基米德多面体体积达到最大时：
（i）求此时该多面体的体积和外接球半径；
（ii）该几何体是否存在内切球（与每个面都相切），若有，求出内切球半径，若不存在，请说明理由.

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16、如图，在等腰梯形 $O A B C$ 中， $O A$ $∥$ $C B, O A = 2 A B = 2 B C = 2 O C$ ， $\vec{B M} = λ \vec{B A} (λ ϵ (0, 1)), O M$ 交 $A C$ 于 $P$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，
（i）用 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O M}$ ；
（ii）求 $\frac{|C P|}{|P A|}$ ；

(2)、设 $\vec{O B} = x \vec{C A} + y \vec{O M}$ ，求 $x + y$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 图象上相邻的一个最低点与一个最高点分别为 $(- \frac{π}{12}, - 2), (\frac{5 π}{12}, 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的单调区间.

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18、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 1)$

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量.

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19、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| \leq 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值为.

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20、如图， $△ S A B$ 为圆锥的轴截面， $A B = 2, S A = 3$ ，则从点 $A$ 出发沿圆锥的侧面再回到点 $A$ 的最短路线的长是.

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