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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量；

(3)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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2、已知球 $O$ 是圆锥 $P O_{1}$ 的外接球，圆锥 $P O_{1}$ 的母线长是底面半径的 $3$ 倍，且球 $O$ 的表面积为 $\frac{81 π}{8}$ ，则圆锥 $P O_{1}$ 的侧面积为.

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3、函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} + 4 x) + \sin (4 x - \frac{π}{6})$ 的最大值为.

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4、若向量 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量坐标为.

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5、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则下列关于复数 $z$ 的结论正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $i$ C、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - 1 - i$ D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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6、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧远处一山顶 $D$ 在西偏北30°的方向上，行驶 $600m$ 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度 $C D =$ （）

A、 $300 \sqrt{6}$ B、 $100 \sqrt{6}$ C、100 D、300

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7、在空间中，l，m是不重合的直线， $α$ ， $β$ 是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $α // β$ ，则 $l // m$ B、若 $l // m$ ， $m \subset β$ ，则 $l // β$ C、若 $m / / β$ ， $m / / α$ ，则 $α // β$ D、若 $α \cap β = l$ ， $m / / β$ ， $m / / α$ ，则 $l // m$

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8、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）

A、 $20 + 12 \sqrt{3}$ B、 $28 \sqrt{2}$ C、 $\frac{56}{3}$ D、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$

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9、在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且 $\vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ，则 $\vec{E D} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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10、如图，已知等腰直角三角形 $O^{'} A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图， $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'}$ ，斜边 $O^{'} B^{'} = 2$ ，则这个平面图形的面积是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，其离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，过点 $B (2, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（异于 $A_{1}, A_{2}$ ），当直线 $l$ 的斜率不存在时， $| P Q | = \frac{4 \sqrt{5}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 交于点 $S$ ，试问：点 $S$ 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.
（2）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $- 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 B、 $- 3$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 3,1)$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处切线的斜率小于零

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14、设抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p \geq 0)$ 的焦点为F，点M在C上， $|M F| = 5$ ，若以MF为直径的圆过点 $(0, 2)$ ，则抛物线C的方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = 16 x$ D、 $y^{2} = 2 x$

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15、已知递减的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = S_{7}$ ，则（）

A、 $a_{6} > 0$ B、 $S_{6}$ 最大 C、 $S_{13} > 0$ D、 $S_{11} > 0$

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = \frac{1}{2}$ ， $a_{1} - a_{3} = \frac{3}{4}$ ，则 $a_{4} =$

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- 4$ D、 $4$

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17、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，且点 $M (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆 $E$ 上．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设直线 $y = k x + \sqrt{2}$ 与椭圆 $E$ 相交于不同的两点 $P$ 和 $Q$ ，当 $|P Q| = \sqrt{3}$ 时，求实数 $k$ 的值．

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - n^{2} + 7 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $a_{10} = - 14$ C、当 $n > 4$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 3$ 或4时， $S_{n}$ 取得最大值

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若C上存在一点P，使得 $|P F_{1}| = \frac{3}{2} |P F_{2}|$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{5}]$ B、 $(0, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $[\frac{1}{5}, 1)$

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20、如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有种．

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