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相关试卷

1、若 $(2 + i) \cdot z = 5 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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2、设集合 $A = \{x ∣ 2 < x^{2} < 10\}, B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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3、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 是由 $n (n > 3, n \in N^{*})$ 个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 $A$ 为“可分集合”.下列说法正确的是（）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ 不是“可分集合” B、 $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ 是“可分集合” C、四个元素的集合 $B = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 可能是“可分集合” D、五个元素的集合 $C = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\}$ 不可能是“可分集合”

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4、若两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x + y = 2 x y$ ，且不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < m < 2$ B、 $m < - 2$ ，或 $m > 1$ C、 $- 2 < m < 1$ D、 $m < - 1$ ，或 $m > 2$

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ．

(1)、画出函数 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、求函数 $f (x) (x \in R)$ 的解析式（写出求解过程）．

(3)、求 $y = f (x)$ ， $x \in [- 4, 2]$ 的值域．

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{cases}$ ，当方程 $f (x) - k = 0$ 有两解时， $k$ 的取值范围是.

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7、若扇形的弧长为 $π$ ，半径为2，则该扇形的面积是.

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8、 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边的中点， $A D = 1$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $cos ∠ B A C$ 的取值范围．

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9、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x - \sqrt{3} a \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} a + b (a \neq 0)$

(1)、写出函数的单调递减区间；

(2)、设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最值.

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10、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

(3)、若 $\vec{d} = (3, 4)$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{d}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 为棱 $P D$ 的中点．
（1）求证： $B C //$ 平面 $P A D$ ；
（2）设平面 $E B C \cap$ 平面 $P A D = E F$ ，点 $F$ 在 $P A$ 上，求证： $F$ 为 $P A$ 的中点．

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12、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A$ ， $P$ ， $Q$ 的平面截该正方体所得截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）

①当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为等腰梯形.
②当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时， $S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R_{1} = \frac{1}{3}$ .
③当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时， $S$ 为四边形.
④当 $C Q = 1$ 时， $S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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13、在 $△ A B C$ 中，若 $(a + c) (a - c) = b (b - \sqrt{3} c)$ ，则 $A =$

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14、已知以 $O$ 为起点的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ .

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15、在三角形 $A B C$ 所在平面内，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{m |\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{n |\vec{A C}|})$ ，其中 $λ \in (0, + \infty)$ ， $m, n \in R$ ， $m \neq 0$ ， $n \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $m |A B| = n |A C|$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的重心 B、当 $m = n = 1$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的外心 C、当 $m = cos B, n = cos C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的垂心 D、当 $m = sin B, n = sin C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的内心

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16、下列命题中正确的是（）

A、用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为 $π$ ，则球的表面积为 $16 π$ B、圆柱形容器底半径为 $5 cm$ ，两直径为 $5 cm$ 的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 $\frac{5}{3} cm$ C、正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ D、已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{5}$ ，则该圆锥的体积为 $\frac{32 \sqrt{21}}{3} π$

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17、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a} + \vec{b}|$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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18、已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, 3]$ C、 $[\frac{3}{2}, 4]$ D、 $[\frac{3}{2}, 3]$

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19、一艘游轮航行到 $A$ 处时看灯塔 $B$ 在 $A$ 的北偏东 $75 °$ ，距离为 $12 \sqrt{6}$ 海里，灯塔 $C$ 在 $A$ 的北偏西 $30 °$ ，距离为 $12 \sqrt{3}$ 海里，该游轮由 $A$ 沿正北方向继续航行到 $D$ 处时再看灯塔 $B$ 在其南偏东 $60 °$ 方向，则此时灯塔 $C$ 位于游轮的（　　）

A、正西方向 B、南偏西 $75 °$ 方向 C、南偏西 $60 °$ 方向 D、南偏西 $45 °$ 方向

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20、 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 {sin}^{2} (\frac{B + C}{2}) > \frac{b + c}{c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、直角或钝角三角形 D、锐角三角形

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