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相关试卷

1、若复数z满足 $(1 + z) (1 - i) = 2$ ，则复数z的虚部为（）

A、i B、－i C、1 D、－1

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2、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， E是 $A B$ 的中点，平面 $A_{1} C_{1} E$ 交平面 $A B C$ 于直线l．

(1)、求证： $A C ∥ l$ ；

(2)、求直线 $B_{1} C$ 与平面 $A_{1} C_{1} E$ 所成角的正弦值．

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的图象如图所示，点 $A (0, - 1)$ ， $B (x_{0}, 1)$ 在曲线 $f (x)$ 上，若 $| A B | = \sqrt{13}$ ，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[7, 11]$ 上单调递减 D、若将 $f (x)$ 图象每个点的横坐标变为原来的 $\frac{π}{t} (t > 0)$ 倍后在 $(0, 2 π)$ 上有且仅有2个极值点，则 $t \in (\frac{5}{2}, 4]$

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4、下列说法中正确的是（）

A、若随机变量 $X \sim B (10, p)$ ，且 $E (X) = 3$ ，则 $D (X) = 2.1$ B、某射击运动员在一次训练中 $10$ 次射击成绩 $（$ 单位：环 $）$ 如下： $6$ ， $5$ ， $7$ ， $9$ ， $6$ ， $8$ ， $9$ ， $7$ ， $9$ ， $5$ ，这组数据的 $75$ 百分位数为 $7$ C、若随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (ξ > 3) = P (ξ < - 1) = p$ ，则 $P (1 \leq ξ \leq 3) = \frac{1}{2} - p$ D、若变量y关于变量x的线性回归方程为 $\hat{y} = x + t$ ，且 $\bar{x} = 4$ ， $\bar{y} = 2 t$ ，则 $t = \frac{4}{3}$

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5、如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} D C = 1$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ .如图2， $B D$ 的中点为 $O$ .

(1)、求证： $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $A D$ 的中点为 $G$ ，在线段 $A C$ 上是否存在点 $H$ ，使得平面 $G H B$ 与平面 $B C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{14}}{14}$ ？若存在，求出点 $H$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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6、已知公差为 $d (d > 0)$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{4} = 8$ ， $a_{2} \cdot a_{3} = 15$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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7、如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若 $\vec{A P} = (m + \frac{1}{10}) \vec{A B} + \frac{1}{10} \vec{B C}$ ，则 $m =$ ．

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8、设 $a = {(\frac{1}{3})}^{2.5}, b = \log_{\frac{5}{2}} \frac{1}{3}, c = 3^{- 2.3}$ ，则 $a 、 b 、 c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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9、集合 $A = \{- 2, 0, 1\}$ ， $B = \{y |y = x^{2}, x \in A\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 4\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 2, 0, 1, 4\}$

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10、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B_{1} F$ $∥$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、求直线 $D F$ 和平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $B_{1} C_{1} F$ 夹角的余弦值.

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11、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2 n + 1$ B、 $2 n - 1$ C、 $n + 1$ D、 $n - 1$

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12、已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为2，则C的渐近线方程为（）.

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm x$

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13、直线经过 $A (1, 0)$ ， $B (2, \sqrt{3})$ ，其倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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14、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $P (0, 1)$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于M，N两点，
①若 $\vec{N P} = 3 \vec{P M}$ ，求直线 $l$ 的方程；
②若点 $A (1, 1)$ ，求 $△ A M N$ 的面积的取值范围．

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15、设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{\sqrt{x y}}{(x - 2) (y - 1) + 4}$ 的最大值为.

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16、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (4, + \infty)$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为 $- 2$ 和 $4$ C、函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的零点为 $2$ 和 $- 4$ D、 $c > 0$

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17、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, |\vec{b}| = 1$ .若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、如图：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长 $A B = 2$ ， M为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求三棱锥 $D - A M C$ 的体积；

(2)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A M C$ ；

(3)、若 $E$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点，则线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $N$ ，使 $E N / /$ 平面 $A M C$ ？说明理由．

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19、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (2 x + 3, - x)$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围.

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20、在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这里 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ．已知在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $A B = 2 A C$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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