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相关试卷

1、已知 $f (x) = a x - \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的图像在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若当 $x \in [1, e]$ 时， $f (x) > 0$ ，求a的取值范围．

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2、用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如 $[3] = 3$ ， $[1.2] = 1$ ， $[- 1.3] = - 2$ ．已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n}^{2} + a_{n}$ ，则 $[\frac{a_{1}}{2 + a_{1}} + \frac{a_{2}}{2 + a_{2}} + \dots + \frac{a_{2024}}{2 + a_{2024}}] =$ .

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3、在 $△ A B C$ 中， $B C = 1$ ， $A C = 2 A B$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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4、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ ，则两圆公共弦所在直线的方程为.

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{2}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，过 $A C$ 中点 $M$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $N$ ．将 $△ A M N$ 沿直线 $l$ 翻折至 $△ A^{'} M N$ ，且点 $A^{'}$ 在平面 $B C M N$ 内的射影 $H$ 在线段 $B C$ 上，连接 $A H$ 交 $l$ 于点 $O$ ， $D$ 是直线 $l$ 上异于 $O$ 的任意一点，则（）

A、 $∠ A^{'} D H \geq ∠ A^{'} D C$ B、 $∠ A^{'} D H \leq ∠ A^{'} O H$ C、点 $O$ 的轨迹的长度为 $\frac{π}{6}$ D、直线 $A^{'} O$ 与平面 $B C M N$ 所成角的余弦值的最小值为 $8 \sqrt{3} - 13$

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6、数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} + 1$ B、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} + 1$ C、 $a_{n} = 2 |\sin \frac{n π}{2}|$ D、 $\{\begin{array}{l} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = 2 - a_{n} \end{array}$

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7、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上， $\vec{C B} = 4 \vec{F_{2} A}$ ， $B F_{2}$ 平分 $∠ F_{1} B C$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{33}}{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

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8、一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 $3 \sqrt{6}$ 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（）

A、 $36 \sqrt{3}$ B、 $48 \sqrt{3}$ C、 $72 \sqrt{3}$ D、 $96 \sqrt{3}$

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9、 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为（）

A、15 B、60 C、 $- 160$ D、240

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10、 $\vec{a} = (- 1, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 1)$ ， $\vec{c} = (- 3, 5, k)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数k为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知 $1 + 2 i$ 是关于复数z的方程 $z^{2} - m z + n = 0$ （m， $n \in R$ ）的一根，则 $m + n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12、抛物线 $y + 3 x^{2} = 0$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, - \frac{3}{4})$ B、 $(0, \frac{3}{4})$ C、 $(0, - \frac{1}{12})$ D、 $(0, \frac{1}{12})$

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13、已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，则下列说法正确的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ C、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ D、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$

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14、已知集合 $A = \{x | y = \sqrt{x + 1}\}$ ， $B = \{y | y = x^{2} + 1\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[0, 1)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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15、如图，八面体 $Ω$ 的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点 $B ， C ， D ， E$ 在同一个平面内．若点 $M$ 在四边形 $B C D E$ 内（包含边界）运动， $N$ 为 $A E$ 的中点，则（）

A、当 $M$ 为 $D E$ 的中点时，异面直线 $M N$ 与 $C F$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ B、当 $M N / /$ 平面 $A C D$ 时，点 $M$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、当 $M A ⊥ M E$ 时，点 $M$ 到 $B C$ 的距离可能为 $\sqrt{3}$ D、存在一个体积为 $\frac{10}{3} π$ 的圆柱体可整体放入 $Ω$ 内

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， D在边AB上， $∠ A C B = 3 ∠ B C D$ ， $4 \vec{A D} = 5 \vec{D B}$ ，则 $\cos ∠ A C D =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{32}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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17、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

(1)、若 $f (x_{0}) = \sqrt{19}$ ，求 $x_{0} - \frac{4}{x_{0}}$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性并利用定义法证明；

(3)、求 $f (x)$ 在 $[1, t]$ 上的最大值.

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18、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - 1$ ．

(1)、当 $a$ 取何值时，不等式 $f (x) < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立？

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 内恰有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、已知集合 $A = \{x ∣ 2 x^{2} - 2 < 3 x\}$ ， $B = {x ∣ 2 a - 3 < x < a + 1}$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求 $a$ 的取值范围．

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20、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\sin 30 °, 1)$ .

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (π + α) + \cos α}{\cos (\frac{5 π}{2} + α)}$ 的值.

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