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相关试卷

1、国庆节前，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，且每个人答题相互不受影响．

(1)、求甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率；

(2)、用随机变量 $ξ$ 表示三名同学能够成为宣传员的人数，求 $ξ$ 的数学期望与方差．

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2、已知 $x = \frac{1}{e}$ 为函数 $f (x) = x^{a} ln x$ 的极值点．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{k x}{e^{x}}$ ，若对 $\forall x_{1} \in (0, + \infty), \exists x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 0$ ，求 $k$ 的取值范围．

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3、某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一 $1000$ 名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为 $8 : 7$ ，选择历史类男女比例为 $2 : 3$ ．

男生
女生
合计
物理类
历史类
合计
1000
完成2×2列联表，并判断能否有99％把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (K^{2} \geq k)$
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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4、在 $△ A B C$ 中，设角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \cos A, \sin A)$ ， $\vec{n} = (5, 5)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{7}$ ， $3 \sin B = 2 \sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} \ln x + a x$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6、 $\frac{tan 72 ° - tan 12 °}{1 + tan 72 ° tan 12 °} =$ ．

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7、设函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，则（）

A、当 $a < 0$ 时， $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、当 $0 < a < 2$ 时， $f (x)$ 有三个零点 C、当 $a = 1$ 时，若 $f (x)$ 在 $(- 1, m)$ 上有最大值，则m的取值范围为 $m > 0$ D、若 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = - 2$ ，则 $a = 1$

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8、若 $4^{a} = 3^{b} = 24$ ，则（）

A、 $2 < a < \frac{5}{2}$ B、 $2 < b < 3$ C、 $\frac{3}{2 a} + \frac{1}{b} = 1$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{2}{3}$

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9、已知函数 $f (x) = 4^{x} + (a - 2) x \cdot 2^{x} - 2 a x^{2}$ 有4个不同的零点，则 $a$ 的取值可以为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- eln2$ D、0

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10、若 $\forall x > 0$ ， $x e^{x - 1} \geq x + \ln x + m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 0$ B、 $m \leq 1$ C、 $m \leq e$ D、 $m < e$

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11、已知 $a > b \geq 0$ 且 $\frac{6}{a + b} + \frac{2}{a - b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为（）

A、12 B、 $8 \sqrt{3}$ C、16 D、 $8 \sqrt{6}$

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12、函数 $y = \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{4} - 1}}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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13、设 $x \in R$ ，则“ $\cos x = 0$ ”是“ $x = \frac{π}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 为该抛物线上的动点，点 $E (0, - 1)$ ，则 $\frac{|P E|}{|P F|}$ 的最大值为．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B / / D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点E为棱PC的中点．证明：

(1)、 $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ．

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16、函数 $y = \ln |x| - x^{2}$ 的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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17、拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 连续，在区间 $(a, b)$ 上可导，则存在 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，我们将 $x_{0}$ 称为函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的“中值点”．已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x^{2} - t x + 1$ ， $F (x) = f (x) - g (x)$ ．

(1)、求 $F (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的中值点的个数；

(2)、若对于区间 $(0, 1)$ 内任意两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| > |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ 成立，求实数t的取值范围．

(3)、当 $t > 0$ 且 $t \neq 1$ 时，证明： $\frac{t - 1}{\ln t} - \ln t \geq 2 - 2 \ln 2$ ．

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18、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(\sqrt{2}, 1)$ ．直线 $y = k x + m$ 与椭圆C相切于点P（P在第一象限），直线 $y = k x - 1$ 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线OP的斜率为 $k_{0}$ ，求证： $k \cdot k_{0}$ 为定值；

(3)、求△PAB面积的最大值．

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19、已知各项均不为0的数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1} + 1}{4}$ ， $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $T_{n}$ ；

(3)、若对于任意 $n \in N^{*}$ ， $λ \cdot 2^{n - 8} + 2 \geq T_{n}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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20、在△ABC中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{b}{c} \cos B + \frac{b^{2}}{c^{2}} \cos C = 1$ ．

(1)、证明： $c^{2} = a b$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $π$ ，且 $a^{2} - 2 b^{2} = 4 \sin^{2} C$ ，求△ABC的面积．

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	男生	女生	合计
物理类
历史类
合计			1000

$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.01	0.001
k	3.841	6.635	10.828