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相关试卷

1、有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案．(用数字作答)

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2、关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，下列判断正确的是（）．

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 4$ ．

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）

A、 $f (a) > f (e) > f (d)$ B、函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上递增，在 $[b, d]$ 上递减 C、函数 $f (x)$ 的极值点为 $c$ ， $e$ D、函数 $f (x)$ 的极大值为 $f (b)$

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4、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）在点 $(0, f (0))$ 处的切线为直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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5、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $E$ 为椭圆在第一象限上的一点，直线 $E A$ ， $E B$ 分别交 $y$ 轴于点 $P$ ， $Q$ .

(1)、求 $|O P| \cdot |O Q|$ 的值；

(2)、在直线 $F_{2} Q$ 上取一点 $D$ （异于 $F_{2}$ ），使得 $|O D| = 1$ .
（ⅰ）证明： $P$ ， $D$ ， $F_{1}$ 三点共线；
（ⅱ）求 $△ P D F_{2}$ 与 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积之比的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} ln (x + a)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点，求 $a$ 的取值范围.

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7、如图， $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，直线 $l$ 与 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 分别相交于点 $D$ ， $E$ ，设 $∠ A D E = θ$ ，满足 $a cos (B - θ) + b cos (A + θ) = \frac{1}{2} c$ .

(1)、求角 $θ$ 的大小；

(2)、若 $A E = \sqrt{13}$ ， $△ A D E$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A D E$ 的周长.

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8、如图，四边形 $A B C D$ 为圆台 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面， $A B = 2 C D$ ，圆台的母线与底面所成的角为 $60 °$ ，母线长为 $2$ ， $P$ 是弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的点， $C P = \sqrt{6}$ ， $E$ 为 $A P$ 的中点.

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $B C P$ ；

(2)、求平面 $A C P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值.

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - \frac{1}{2} sin 2 x + 1$ ，若对任意 $x \in (1, + \infty)$ ， $f (a ln x) + f (- x) < 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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10、已知i为虚数单位，若 $z \cdot \bar{z} + z - \bar{z} = 9 + 4 i$ ，则 $|z| =$ .

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11、某校南门前有条长80米，宽8米的公路（如图矩形 $A B C D$ ），公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度 $A M = 3$ （米），停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A^{'} M = α$ ，其中 $α \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $cos α = \frac{4}{5}$ B、 $cos α = \frac{3}{5}$ C、该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D、该路段改造后的停车位比改造前增加9个

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12、已知双曲线： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过 $M (- 2 a, 0)$ 的直线分别交双曲线左右两支为 $A, B$ ， $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $C$ ，若 $2 ∠ B M O + ∠ M B C = \frac{π}{2}$ ，则双曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、某种药物作用在农作物上的分解率为 $v$ ，与时间 $t$ （小时）满足函数关系式 $v = a b^{t}$ （其中 $a, b$ 为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为 $10 %$ ，经过24小时该药物的分解率为 $20 %$ ，那么这种药物完全分解，至少需要经过（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）

A、48小时 B、52小时 C、64小时 D、120小时

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14、已知集合 $A = \{x |2 a - 1 < x < a + 1\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $(∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

A、 $y = x (2^{x} + 2^{- x})$ B、 $y = {log}_{2} x^{2}$ C、 $y = lg (1 - x) + lg (1 + x)$ D、 $y = \frac{x^{3} - x}{x - 1}$

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16、在 $△ A B C$ 中，点 $D, E$ 分别在边 $B C$ 和边 $A B$ 上，且 $D C = 2 B D = 2, B E = 2 A E, A D$ 交 $C E$ 于点 $P$ ，设 $\vec{B C} = \vec{a}, \vec{B A} = \vec{b}$ .用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{B P}$ 为；若 $M$ 为 $C E$ 上一动点且 $∠ E C B = 30^{°}$ ，则 $\vec{B M} \cdot \vec{D M}$ 的最小值为.

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17、已知函数 $f (x) = a_{1} x^{2} + a_{2}$ ， $g (x) = f (x) - x sin x$ .

(1)、证明：当 $3 a_{1} = a_{2} = 3$ 时，曲线 $C : y = (x + 3) f (x) + lg \frac{x}{x + 2}$ 关于点 $(- 1, 8)$ 对称；

(2)、若 $P$ 为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的公共点，且 $C_{1}, C_{2}$ 在 $P$ 处存在共同的切线，则称该切线为 $C_{1}, C_{2}$ 的“优切线”.若曲线 $y = g (x)$ 与曲线 $y = - cos x$ 存在两条互相垂直的“优切线”，求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值.

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点 $F (2 a, 0)$ 到其中一条渐近线 $\sqrt{3} x - y = 0$ 的距离为 $2 \sqrt{3} .$

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若过 $F$ 的直线与 $C$ 的左、右支分别交于点 $A, B$ ，与圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 交于与 $A, B$ 不重合的 $M, N$ 两点.
①求直线 $A B$ 斜率的取值范围；
②求 $|A B| \cdot |M N|$ 的取值范围.

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19、如图，在正四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $A B = 4 A_{1} B_{1} = 4$ ， $B B_{1} = 3$ ， $\vec{D B} = 4 \vec{D F}$ ，棱 $B_{1} B$ 上的点 $E$ 满足 $A E + E C$ 取得最小值.

(1)、证明： $B_{1} F //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、在空间取一点为 $G$ ，使得 $A G // C_{1} C$ ，设平面 $A G E$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的值.

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20、已知首项为1的等差数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的公差为2，又数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = \frac{9}{2} T_{4}$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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