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相关试卷

1、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 是棱 $A B$ 的中点， $F$ 是棱 $A A_{1}$ 上一点（含端点），且 $\vec{F E} \cdot \vec{F D} = 1$ ，则三棱锥 $F - A E D$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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2、在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点即为费马点，在 $△ A B C$ 中，若 $B C = 4$ ，且 $\sin A : \sin B : \sin C =$ $2 \sqrt{2} : 2 : 1$ ，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 + \sqrt{2}$ D、 $4 + 2 \sqrt{2}$

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3、直线 $x - \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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4、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得函数 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象 D、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 $(\frac{5π}{6}, 0)$ 对称

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5、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (1 - x) + g (x) = 3$ ， $g (- 2) = 2$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数， $g (x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $g (x)$ 为奇函数 C、 $f (- 1) = - 1$ D、 $g (x)$ 关于 $x = 1$ 对称

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6、抛物线 $y ^{2} = 4 x$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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7、为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（）种.

A、 $144$ B、 $260$ C、 $320$ D、 $540$

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8、已知向量 $\vec{a} = (3, - 2, 4), \vec{b} = (1, λ, μ)$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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9、已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点 $(0, 1)$ ，长轴长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $M (1, 0)$ 且斜率为1的直线l与椭圆C交于 $A, B$ 两点，求弦长 $| A B |$ ；

(3)、若直线l与椭圆相交于 $C, D$ 两点，且弦 $C D$ 的中点为 $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，求直线l的方程.

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10、圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆 $C_{1} : x^{2} + 2 x$ $+ y^{2} = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 16 = 0$ ， $P$ 是这两个圆根轴上一点，则 $|P C_{2}| - |P C_{1}|$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，底面ABCD为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $A D = 2$ ， $P A = B C = 1$ ，三棱锥 $P - A C D$ 的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（）

A、 $\frac{9π}{8}$ B、 $\frac{11π}{8}$ C、 $\frac{9π}{4}$ D、 $\frac{11π}{4}$

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线 $C$ 上有一点 $P$ ，若 $|P F_{1}| = 5$ ，则 $|P F_{2}| =$ （）

A、9 B、1 C、1或9 D、11或9

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13、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为10，点P在椭圆C上，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、16 B、18 C、 $10 + 2 \sqrt{34}$ D、20

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14、直线 $\sqrt{3} x + y = 0$ 绕原点逆时针旋转 $90 °$ 后所对应的直线的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、已知 $a = \log_{2} \frac{1}{3}, b = {(\sqrt{2})}^{\frac{2}{3}}, c = {(\sqrt[3]{2})}^{\frac{3}{5}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，以点 $T (1, f (1))$ 为切点作曲线 $f (x)$ 的切线，求切线方程；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有3个零点；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(a - 5, 3 - a)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围．

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17、某林场去年底森林木材储存量为100万 $m^{3}$ ，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万 $m^{3}$ 木材，记 $a_{n}$ 为第n年年底的木材储存量.

(1)、写出 $a_{1}, a_{2}$ ；写出数列 $\{a_{n}\}$ 的递推公式；

(2)、为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少?（精确到0.1万 $m^{3}$ ）
参考数据： ${1.2}^{9} = 5.16, {1.2}^{10} = 6.19$ .

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18、已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19、如图，某广场内有一半径为 $50 \sqrt{3}$ 米的圆形区域，圆心为 $O$ ，其内接矩形 $A B C D$ 的内部区域为居民的健身活动场所，已知 $A B = 100$ 米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心 $O$ 作直径 $M N$ ，使得 $M N // A B$ ，在劣弧 $\overset{⌢}{M C}$ 上取一点 $E$ ，过点 $E$ 作圆 $O$ 的内接矩形 $E F G H$ ，使 $E F // M N$ ，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设 $∠ M O E = x$ ．
（1）记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为 $f (x)$ （单位：平方米），求 $f (x)$ 的表达式（不需要注明 $x$ 的范围）．
（2）当 $f (x)$ 取最大值时，求 $x$ 的值为．

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20、已知数列 ${a_{n}}$ 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} + a_{4} = 7$ ， $a_{5} + a_{6} = 13$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ .

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