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相关试卷

1、四面体 $A B C D$ 中，若 $D A = D B = D C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ， $∠ B A C = \frac{5 π}{6}$ ，则此四面体的外接球的表面积为（）

A、 $48 π$ B、 $16 π$ C、 $12 π$ D、 $4 π$

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2、八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A O}$ 的值为（）

A、14 B、12 C、10 D、8

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3、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $B D ⊥ B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 1$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、6 D、3

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4、在直角坐标平面内，已知 $A (0, - 1)$ ， $B (- 4, - 1)$ ， $C (- 4, 4)$ ， $D (0, 1)$ ，以y轴为旋转轴，将四边形ABCD旋转一周，得一个旋转体，则此旋转体的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $36 π$ C、 $76 π$ D、 $96 π$

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5、在正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均相等，E为 $P C$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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6、将函数 $f (x) = \sin x$ 图象上的所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 后得函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ B、 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$

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7、在直角坐标平面内， $△ A B C$ 的三顶点的坐标分别为 $A (- 1, - 1)$ ， $B (- 7, 2)$ ， $C (3, 7)$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、120 B、60 C、30 D、15

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8、已知复数z满足： $(1 + i^{2024}) z = 2 + 3 i$ （i为虚数单位），则z为（）

A、 $1 - \frac{3}{2} i$ B、 $1 + \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$ D、 $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} i$

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9、已知函数 $f (x) = a x^{2} + \ln x, g (x) = 2 x + \frac{a}{2} \ln x$ .

(1)、若 $f (x) \geq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $x_{1}, x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ）， $g (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，证明： $\frac{x_{1}}{x_{2}} > 4 e x_{0}$ .

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10、某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度 $= \frac{企业所有对新绩效方案满意的员工人数}{企业所有员工人数} \times 100 %$ .

(1)、求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率

(2)、若该企业某部门有9名员工，用 $X$ 表示其中按方式一回答问卷的人数，求 $X$ 的数学期望；

(3)、若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为 $4 : 5$ ，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.

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11、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} - 4 a x + 3 a (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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12、某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．

(1)、求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．

(2)、设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为 $X$ ， $Y$ ，求随机变量 $X$ ， $Y$ 的期望 $E (X)$ ， $E (Y)$ 和方差 $D (X)$ ， $D (Y)$ ，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．

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13、已知 $f (x) = a x^{3} - b x + 4, f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 $- \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若方程 $f (x) + k = 0$ 有且只有一个实数根，求 $k$ 的取值范围.

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14、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　　　　种（用数字作答）．

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15、如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的概率为.

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16、计算： $A_{8}^{2} - C_{8}^{6} =$ .

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17、已知(a＋b)ⁿ的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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18、若对于任意正数 $x ， y$ ，不等式 $x (1 + l n x) \geq x l n y - a y$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e}]$ C、 $[\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{e^{3}}, + \infty)$

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19、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

A、4种 B、10种 C、18种 D、20种

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20、定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上有最大值 $f (n)$ D、 $f (x - 1) + f (x^{2} - 1) > 0$ 的解集为 $\{x |- 2 < x < 1\}$

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