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相关试卷

1、若关于x的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ ，则
$\frac{c^{2} - b^{2} + 1}{2 a}$ （）

A、有最小值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、有最小值 $\sqrt{3}$ C、有最小值3 D、无最小值

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2、已知 $a = {log}_{2} \frac{1}{3}, b = {log}_{2} \frac{3}{5}, c = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{5}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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3、已知 $p : α = \frac{π}{4}$ ， $q : \sin α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4、已知 $a > b > 0, c > d > 0$ ，则（）

A、 $a + d > b + c$ B、 $a - d > c - b$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $a d > b c$

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5、已知 $\cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ ）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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6、下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = x - \frac{1}{x}$ D、 $y = 3^{x}$

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7、已知集合． $A = \{- 1, 0, 1\}$ ， $B = \{0, 1, 3\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{- 1, 3\}$ C、 $\{0, 1, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 3\}$

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8、在扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 2$ ，且弦 $A B = 2$ ，则扇形 $A O B$ 的面积为（）

A、 $\frac{2}{\sin 2}$ B、 $\frac{1}{{sin}^{2} 1}$ C、 $\frac{1}{2 \sin^{2} 2}$ D、 $2 \sin 1$

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9、如图，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B ∥ C D$ ，四边形 $A D E F$ 为平行四边形．

(1)、求证： $C E$ ∥平面 $A B F$ ；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $A D E F, A F ⊥ A D, A F = A D = C D = 1, A B = 2$ ，求：
（ⅰ）直线 $A B$ 与平面 $B C F$ 所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面 $B C F$ 的距离．

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10、在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）

A、理科男生多于文科女生 B、文科女生多于文科男生 C、理科女生多于文科男生 D、理科女生多于理科男生

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11、直线 $l_{1}$ ： $m x - y - 5 m + 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x + m y - 5 m - 1 = 0$ 交于点P，圆C： ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 上有两动点A，B，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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12、（1）若 $\sin 3 x = \sin x (p \cos^{2} x + q)$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求 $p + q$ 的值；
（2）求 $f (x) = \frac{\sin 5 x}{\sin x}$ 的值域；
（3）正五棱锥的所有棱长均为 $2$ ，求此正五棱锥的表面积．

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $P D = P B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E为 $P A$ 中点， $A C$ 与 $B D$ 交点为O．

(1)、求证： $P C / /$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求证：平面 $E B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、若 $P A = P C$ ，求点C到平面 $A B E$ 的距离．

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\frac{\cos B}{\cos C} + \frac{b}{c} = \frac{2 a}{c}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、设D是 $A B$ 上一点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D A}$ ， $|C D| = 1$ ，且 $2 \sin B = 3 \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、如图，边长为6的正 $△ A B C$ 中，点D在边 $A C$ 上，且 $|A D| = 2 |D C|$ ，点M在线段 $B D$ 上．

(1)、若 $\vec{B D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，求 $m + n$ 的值；

(2)、若 $\vec{A M} = x \vec{A B} + 2 x \vec{A C}$ ，求x及 $\cos ∠ A M C$ 的值．

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x - \frac{1}{2}$ ，其中 $ω > 0$ ，且函数 $f (x)$ 的图象的对称中心与对称轴的距离的最小值为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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17、欧拉公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （i是虚数单位， $x \in R$ ）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出 $|e^{i x} - 1|$ 的最大值为．

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18、 $△ A B C$ 的内心为P，外心为O，重心为G，若 $|A B| = |A C| = 5$ ， $|B C| = 6$ ，下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的内切圆半径为 $r = \frac{3}{2}$ B、 $6 \vec{P A} + 5 \vec{P B} + 5 \vec{P C} = \vec{0}$ C、 $6 \vec{O A} + 5 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ D、 $|O G| = \frac{11}{24}$

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19、下列命题正确的是（）

A、一个三棱锥被过三条侧棱的中点的平面所截，截得的两部分为一个三棱台和一个小三棱锥，则此三棱台与小三棱锥的体积比为7 B、圆锥被过其顶点的某平面所截，截面形状为一个三角形，若圆锥的底面半径 $r = 8$ ，高 $h = 6$ ，则截面三角形面积的最大值为48 C、圆锥被过其顶点的某平面所截，截面形状为一个三角形，若圆锥的底面半径 $r = 6$ ，高 $h = 8$ ，则截面三角形面积的最大值为48 D、若一个平行六面体被某平面所截，所得截面形状为四边形，则此四边形至少有一组对边互相平行

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20、设 $z, z_{1}, z_{2}$ 都是复数，i是虚数单位，则下列结论中一定成立的是（）

A、方程 $z^{2} - 3 z + 5 = 0$ 无复数解 B、若 $3 z - \bar{z} = 6 + 8 i$ ，则 $z = 3 + 2 i$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ D、 $z^{2} = {|z|}^{2}$

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