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相关试卷

1、已知正实数 $a$ ， $b$ ，满足 $a + b + \frac{1}{a} + \frac{9}{b} = 10$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 7]$ B、 $[1, 9]$ C、 $[2, 8]$ D、 $[3, 6]$

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2、已知x，y均为正实数，且x＋y＝1，若 $\frac{1}{x} + \frac{a}{y}$ 的最小值为9，则正实数a的值为

A、2 B、4 C、8 D、80

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3、投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量 $X_{n} = \{\begin{matrix} 1, & 第 n 次投出正面, \\ - 1, & 第 n 次投出反面, \end{matrix} (n = 1, 2, 3)$ ．记A表示事件“ $X_{1} + X_{2} = 0$ ”， $B$ 表示事件“ $X_{2} = 1$ ”， $C$ 表示事件“ $X_{1} + X_{2} + X_{3} = - 1$ ”，则（）

A、 $B$ 和 $C$ 互为对立事件 B、事件 $A$ 和 $C$ 不互斥 C、事件 $A$ 和 $B$ 相互独立 D、事件 $B$ 和 $C$ 相互独立

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4、设 $x \in R$ ，则“ $| x - 2 | < 1$ ”是“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知角 $α$ ， $β \in (0, π)$ ， $\tan (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $\cos β = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α}$ 的值；

(2)、求 $\tan (2 α + β)$ 的值.

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6、已知集合 $A$ 是由 $m \times n$ （ $m, n$ 为大于1的整数）个连续的正整数组成的集合.现将集合 $A$ 拆分成 $n$ 个子集 $B_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，且集合 $B_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 满足：①两两没有公共元素；②元素的个数均为 $m$ 个，则称对集合 $A$ 进行了“ $n$ 个均分拆”.进一步，若集合 $B_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 又满足条件 $D$ ，则称对集合 $A$ 进行了“条件 $D$ 下 $n$ 个均分拆” .

(1)、若集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ，请写出对集合 $A$ 进行“2个均分拆”的所有拆法.

(2)、若集合 $A = \{1, 2, 3, \dots 8\}$ ，试判断是否可以对集合 $A$ 进行“条件 $D$ 下2个均分拆”（条件 $D$ 为“ $a b - c d = 1$ ，其中 $a, b, c, d \in B_{i} (i = 1, 2)$ ”），并说明理由.

(3)、若集合 $A = \{t + 1, t + 2, t + 3, \dots, t + 48\}$ ，是否可以对集合 $A$ 进行“条件 $D$ 下16个均分拆”（条件 $D$ 为“集合 $B_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, 16)$ 中的最大数等于另外的两数之和”）？若能，求出整数 $t$ 的最大值，并给出一种拆法；若不能，说明理由.

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7、已知函数 $f (x) = \frac{a + x}{ln x} (a \in R)$

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距为 $- e$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 存在唯一极值点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 存在极大值，记作 $h (a)$ ，求证： $ln (h (a)) + |a| < 1$ .
（参考结论：当 $x \to 0^{+}$ 时， $x ln x \to 0^{-}$ .这里 $0^{+}$ 表示从0的右边逼近 $0, 0^{-}$ 表示从0的左边逼近0.）

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8、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ .过焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点.抛物线 $C$ 在点 $B$ 处的切线为直线 $m$ ，过点 $A$ 作平行于直线 $m$ 的直线交抛物线 $C$ 于点 $P$ .设点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), P (x_{3}, y_{3})$ .

(1)、求证： $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列；

(2)、求 $△ A B P$ 的面积的最小值.

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9、如图，在等边三角形 $△ A B C$ 中， $Q$ 为边 $B C$ 上一点， $B Q = 2 C Q$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $A B, A C$ 上的动点（不包括端点），若 $∠ M Q N = 120^{\circ}$ ，且设 $∠ C N Q = θ .$

(1)、求证：不论 $θ$ 为何值， $\frac{Q M}{Q N} = 2$ 恒成立.

(2)、当 $△ B M Q$ 和 $△ C N Q$ 的面积相等时，求 $tan θ$ 的值.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，且 $△ P A D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形.

(1)、求证： $P B ⊥ A D$ ；

(2)、若 $P B = \sqrt{6}$ ，求直线 $B D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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11、在箱子里有六张印有6名同学名字（名字都不相同）的卡片，6名同学随机在箱子中抽取一张卡片.为了使6名同学都能拿到自己的卡片，每次只有2名同学可以互换手中的卡片，则这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为.

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12、已知长方体的长，宽，高分别为 $a, b, 3$ ，连接其各面的中心，得到一个八面体.已知该八面体的体积为8，则该长方体的表面积的最小值为.

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13、已知 $θ$ 是第二象限内的角， $sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $tan (θ + \frac{π}{6}) =$ .

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14、在平面直角坐标系中，已知定点 $F (4, 0)$ 和定直线 $l : x = - 4$ ，若到点 $F$ 与直线 $l$ 的距离之和等于10的点的轨迹记为曲线 $C$ .给出下列四个结论，其中正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、若点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在曲线 $C$ 上，则 $2 \leq |M F| \leq 10$ C、若点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在曲线 $C$ 上，则 $|x_{0}| \leq 5$ D、若点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在曲线 $C$ 上，则 $|y_{0}| \leq 6$

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15、若 $m + e^{m} = n + ln n = 4$ ，则（）

A、 $m > n$ B、 $m n > e$ C、 $m + n = 4$ D、 $n e^{n} = e^{4}$

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16、比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数 $= \frac{标准差}{均值}$ .某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是（）
（附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2}), P (|Z - μ| < σ) \approx 0.68$ .）

A、学生考试成绩标准差为 $57.4 \times 0.36 = 20.664$ B、学生考试成绩近似服从正态分布 $N (57.4, {0.36}^{2})$ C、约有20000名学生的成绩低于58分 D、全体学生成绩的第84百分位数约为78

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17、已知点 $K$ 为三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，经过顶点 $A, C$ 及点 $K$ 的平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则 $\frac{A_{1} K}{B_{1} K}$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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18、已知三个电流瞬时值的函数表达式为 $I_{1} (t) = sin t$ ， $I_{2} (t) = sin (t + φ), I_{3} (t) = sin (t + 2 φ), φ \in (0, π)$ ，它们合成后的电流瞬时值的函数为 $I (t) = I_{1} (t) + I_{2} (t) + I_{3} (t)$ 的部分图象如图所示，则 $I (t)$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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19、记等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = a \cdot 2^{n} - 4$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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20、若 ${(\frac{1}{x \sqrt{x}} + \frac{x}{3})}^{n}$ 展开式中的第2项与第3项的系数相等，则 $n$ 的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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