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相关试卷

1、若存在常数 $t$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} = t (n \geq 1, n \in N)$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $H (t)$ 数列”．

(1)、判断数列：1，3，5，10，152是否为“ $H (2)$ 数列”，并说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为2的“ $H (t)$ 数列”，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} = a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} + \log_{2} b_{n}$ ，求 $t$ 的值和数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是“ $H (t)$ 数列”， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} > 1$ ， $t > 0$ ，证明： $t > S_{n + 1} - S_{n} - e^{S_{n} - n}$ ．

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2、已知复数z满足 $z (1 - i) = {|1 + i|}^{2}$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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3、定义运算： $|\begin{matrix} m & n \\ p & q \end{matrix}| = m q - n p$ ，已知函数 $f (x) = |\begin{matrix} \ln x & x - 1 \\ 1 & a \end{matrix}|$ ， $g (x) = \frac{1}{x} - 1$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的最大值为0，求实数a的值；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\frac{h (x_{1}) - h (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} - a + 2 < 0$ ；

(3)、证明： $(1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) (1 + \frac{1}{4^{2}}) ... (1 + \frac{1}{n^{2}}) < e$ ．

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4、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直， $△ A B F_{2}$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ ，直线 $A F_{2}$ 与E交于另一点C，直线 $B F_{2}$ 与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．

(1)、求E的方程；

(2)、证明：直线CD过定点．

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5、某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动．

(1)、请补全 $2 \times 2$ 列联表，试根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
性别
体育活动
合计
课间不经常进行体育活动
课间经常进行体育活动
男
女
合计

(2)、以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列、数学期望和方差．
附表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

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6、若 ${(2 - x)}^{7} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} {(1 + x)}^{2} + \dots + a_{7} {(1 + x)}^{7}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7}$ 的值为．

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7、我国5G技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段.2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月5G手机的实际销量，如下表所示：
月份
2022年1月
2022年2月
2022年3月
2022年4月
2022年5月
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y（部）
50
96
a
185
227
若y与x线性相关，且求得回归直线方程为 $\hat{y} =$ $45 x + 5$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 142$ B、 $y$ 与 $x$ 正相关 C、 $y$ 与 $x$ 的相关系数为负数 D、2022年7月该手机商城的5G手机销量约为365部

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8、若“ $\exists x \in [4, 6]$ ， $x^{2} - a x - 1 > 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值可以为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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9、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，右支上一点 $P$ 满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，直线 $l$ 平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ，过点 $F_{1}, F_{2}$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A, B$ .设 $O$ 为坐标原点，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、10 D、 $10 \sqrt{2}$

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10、有 $5$ 个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）

A、90 B、150 C、390 D、420

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11、在空间直角坐标系中， $P (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 0, 3)$ ，三角形 $A B C$ 重心为 $G$ ，则点 $P$ 到直线 $A G$ 的距离为（）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{221}}{17}$ C、 $\frac{2 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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12、设 $a = \frac{1}{2} \cos 6 ° - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 6 °$ ， $b = 2 \sin 13 ° \cos 13 °$ ， $c = \sqrt{\frac{1 - \cos 50^{°}}{2}}$ ，则有（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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13、关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本点的中心；
②相关系数r越大，线性相关程度越强；
③决定系数 $R^{2}$ 越接近1拟合效果越好；
④随机误差平方和越小，拟合效果越好．
其中正确的命题个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 - i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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15、在△ $A B C$ 中， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $c = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2π}{3}$ ， $P$ 为△ $A B C$ 内部（包含边界）的动点，且 $P A = 1$ .

(1)、求 $|\vec{A C} + \vec{A B}|$ ；

(2)、求 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围.

(3)、若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求 $x + y$ 的取值范围.

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16、已知 $\vec{a} = (2 cos ω x, f (x) - sin 2 ω x), \vec{b} = (\sqrt{3} cos ω x, - 1), x \in R, ω > 0$ ．且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式与单调递增区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c, f (A) = \sqrt{3}$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $A D$ 平分 $∠ B A C, a = 3, A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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17、已知向量 $\vec{a} = (cos α, sin α)$ ， $\vec{b} = (cos β, sin β)$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

(1)、求 $\cos (α - β)$ 的值；

(2)、若 $- \frac{π}{2} < β < 0 < α < π$ ， $sin β = - \frac{5}{13}$ ，求 $sin α$ 的值．

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18、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（）

A、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 体积为定值 $\frac{4}{3}$ B、异面直线 $A_{1} D, B_{1} D_{1}$ 成角为 $45^{\circ}$ C、直线 $A A_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、存在点 $P$ 使得 $C P / / 面 A_{1} B D$

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19、下列化简正确的是（）

A、 $sin 15^{\circ} cos 15^{\circ} = \frac{1}{2}$ B、 $sin 70^{\circ} cos 25^{\circ} - sin 20^{\circ} sin 25^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 ${cos}^{2} \frac{π}{12} - {sin}^{2} \frac{π}{12} = \frac{1}{2}$ D、 $tan 27^{\circ} + tan 33^{\circ} + \sqrt{3} tan 27^{\circ} tan 33^{\circ} = \sqrt{3}$

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20、在 $Rt △ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $C = \frac{π}{2}$ ， $c = 2$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 外接圆上一点，则 $\vec{P C} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B})$ 的最大值是（）

A、4 B、 $2 + \sqrt{10}$ C、3 D、 $1 + \sqrt{10}$

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性别	体育活动		合计
性别	课间不经常进行体育活动	课间经常进行体育活动
男
女
合计

月份	2022年1月	2022年2月	2022年3月	2022年4月	2022年5月
月份编号x	1	2	3	4	5
销量y（部）	50	96	a	185	227

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828