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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ， $a = \log_{3} 2$ ， $b = \log_{0.25} 3$ ， $c = \log_{5} 2$ ，则（）

A、 $f (b) < f (c) < f (a)$ B、 $f (c) < f (a) < f (b)$ C、 $f (c) < f (b) < f (a)$ D、 $f (a) < f (c) < f (b)$

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2、如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为 $252 {πcm}^{3}$ ，则该杯子的高度为（）

A、12cm B、13cm C、14cm D、15cm

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3、已知 $\sin α = \tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α \tan 2 β =$ （）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $- \frac{7}{12}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $- \frac{7}{24}$

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4、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} - 3 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、复数 $z = \frac{2 + i}{4 - i}$ 的实部为（）

A、 $\frac{6}{17}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{7}{17}$ D、 $\frac{7}{15}$

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6、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x| y = \sqrt{x - 2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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7、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b$ 是定义在 $[a, a + 2]$ 上的偶函数，又 $g (x) = f (x - 2)$ ，则 $g (- 2), g (3), g (2)$ 的大小关系为（）

A、 $g (- 2) > g (3) > g (2)$ B、 $g (3) > g (2) > g (- 2)$ C、 $g (2) > g (- 2) > g (3)$ D、 $g (2) > g (3) > g (- 2)$

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8、如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点，满足 $A B = A C = 2 \sqrt{5}, B C = 4$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2.

(1)、求证： $A_{1} O ⊥$ 平面 $B C E D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 和平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{F C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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9、已知圆 $M : {(x + a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的圆心 $M$ 在直线 $y = x$ 上，且直线 $3 x + 4 y + 15 = 0$ 与圆 $M$ 相切.

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、设圆 $M$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 在圆 $M$ 内，且 $| P M |^{2} = |P A| \cdot |P B|$ .记直线 $P A, P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的取值范围.

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10、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A C, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A B = A C = 1$ ，点 $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - B$ 的大小.

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11、在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $(a + 1) x - y + 4 a = 0, a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求过点 $(1, 0)$ 且与直线 $l$ 平行的直线方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ 相切，求 $a$ 的值.

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12、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为.

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13、若 $\vec{a} = (1, 0, 1), \vec{b} = (0, 2, 2)$ ，则 $sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ .

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14、如图所示，以长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $D$ 为坐标原点，过 $D$ 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\vec{D B_{1}}$ 的坐标为 $(3, 4, 2)$ ，则四棱锥 $B_{1} - A B C D$ 的体积为.

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15、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，且 $λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $|A_{1} P| + |P B|$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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16、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、“ $a = 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x + a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 C、圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ 与 $x$ 轴相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B| = 6$ D、圆 $C_{1} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系为内切

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17、下列说法命题正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, 3, - 5)$ ， $B (0, - 2, - 2)$ ， $C (- 2, - 5, 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (3, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 9, 0, 3)$ ，则 $l ∥ α$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 4)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $P$ 为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m + n = \frac{1}{2}$

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18、已知点 $O$ 是坐标原点，点 $M$ 是圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 1$ 上的动点，当动点 $P$ 在直线 $x + y + 4 = 0$ 上运动时， $|P M| + |P O|$ 的最小值为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, E$ 为 $C D$ 的中点，则点 $B$ 到平面 $A E C_{1}$ 的距离等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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20、如图，已知空间四边形 $O A B C$ ，其对角线为 $O B$ 、 $A C$ ， $M, N$ 分别是对边 $O A, B C$ 的中点，点 $G$ 在线段 $M N$ 上，且 $G N = 2 M G$ ，现用向量 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，设 $\vec{O G} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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