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相关试卷

1、已知点P在双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的右支上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 8$ B、离心率 $e = \frac{5}{4}$ C、渐近线方程为 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、点 $F_{2}$ 到渐近线的距离为3

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项是1，其前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 1$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若存在实数 $λ$ ，使得关于 $n$ 的不等式 $λ + S_{n} \leq 25 n$ ， $n \in N^{*}$ 有解，求实数 $λ$ 取到最大值时 $n$ 的值.

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3、现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记 $A_{i} (i = 1, 2, 3)$ 表示第 $i$ 号箱子有奖品， $B_{j} (j = 2, 3)$ 表示主持人打开第 $j$ 号箱子.则下列说法正确的是（）

A、 $P (B_{3} ∣ A_{2}) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A_{1} ∣ B_{3}) = \frac{1}{3}$ C、若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D、若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变

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4、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}, |O A| = |A B|$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$

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5、双曲线的另一种定义：动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (c, 0)$ 的距离和它与定直线 $l$ ： $x = \frac{a^{2}}{c}$ 的距离的比是常数 $\frac{c}{a} (0 < a < c)$ ，则点 $M$ 的轨迹是一个双曲线.动点 $M$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和它与定直线 $l$ ： $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是 $\sqrt{3}$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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6、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

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7、抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件 $A$ ， “点数小于5”记为事件 $B$ ， “点数大于5”记为事件 $C$ .下列说法正确的是（）

A、 $A$ 与 $C$ 互斥 B、 $B$ 与 $C$ 对立 C、 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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8、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ B = 45^{\circ}, A B = 3 \sqrt{2}, B C = 6$ ，且 $\vec{A D} = \frac{1}{6} \vec{B C}$ ，若 $M, N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $|\vec{M N}| = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的取值范围为.

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9、已知 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a$ ．

(1)、若 $f (x) > - \frac{1}{4}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集．

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10、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a > b$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $|a| > |b|$ D、 $a^{- 1} > b^{- 1}$

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11、圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 3$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外切 C、内切 D、相离

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12、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 6 = 0$ 的圆心和半径分别是（）

A、 $(- 1, - 2)$ ， $11$ B、 $(- 1, 2)$ ， $11$ C、 $(- 1, - 2)$ ， $\sqrt{11}$ D、 $(- 1, 2)$ ， $\sqrt{11}$

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13、已知 $x^{2} \in {1, 0, 2 x}$ ，则关于实数 $x$ 的取值正确的是（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、2

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14、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = {x ∣ - 1 < x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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15、将函数 $f (x) = \sin ω x$ （其中 $ω$ >0）的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，所得图像经过点 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ ，则 $ω$ 的最小值是

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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16、17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|P F_{1} |\cdot| P F_{2}| = 3$ ，动点P的轨迹为曲线E，直线 $y = k x + b$ 与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 $k_{0} .$

(1)、求曲线E的方程；

(2)、求 $|O P|$ 的取值范围；

(3)、求证： $- \frac{3}{5} < k \cdot k_{0} < - \frac{1}{3} .$

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17、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程为 $x = - 1$ ，直线 $l : x = m y + 3$ 交抛物线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若 $|A B| = 4 \sqrt{15}$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若抛物线 $E$ 上存在两点 $C$ ， $D$ 关于直线 $l$ 对称，求 $m$ 的取值范围.

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18、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A C = 2$ ， $A B = 4$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6} .$

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C;$

(2)、若二面角 $A - P B - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求PA的长度.

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19、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 是偶函数.

(1)、求a的值；

(2)、当 $x \in [- 1, 1]$ 时，函数 $g (x) = f (2 x) - λ f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ，求 $λ$ 的值.

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20、设 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离 $d (P ， Q) = |x_{1} - x_{2} |+| y_{1} - y_{2}| .$ 已知 $P (0 ， 2)$ ， Q是曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1 (x > 0)$ 上一点，则 $d (P ， Q)$ 的最小值为.

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