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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (4, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上投影向量为（）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(\frac{8}{5}, \frac{6}{5})$ C、 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(\frac{8 \sqrt{5}}{5}, \frac{6 \sqrt{5}}{5})$

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线相互垂直，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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3、若虚数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 2 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} < 3\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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5、已知圆M经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $C (0, 0)$ ，则圆M的标准方程为．

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6、如果 $A B > 0$ 且 $B C < 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8、定义：若存在 $λ \in R$ ， $p \in (1, + \infty)$ ，使得数列 $\{a_{n} + λ \cdot p^{n}\}$ （ $λ$ ， $p$ 均为常数）是公差为 $d$ 的等差数列，则称 $\{a_{n}\}$ 是 $(λ, p, d)$ 和比等差数列，也称 $\{a_{n}\}$ 是和比等差数列，且 $λ$ 称为该和比等差数列的系数.

(1)、若数列 $\{b_{n}\}$ 是 $(- 2, 3, - 4)$ 和比等差数列，且 $b_{1} = 1$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} + n^{2}$ .
①试问 $\{a_{n}\}$ 是否为和比等差数列？若是，求该和比等差数列的系数；若不是，请说明理由.
②证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{2 i - a_{i}} < \frac{4}{3}$ .

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9、设函数 $f (x) = \frac{2}{e^{x} + 1} + a x$ .

(1)、证明：曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(0, 1)$ 对称.

(2)、已知 $f (x)$ 为增函数.
①求 $a$ 的取值范围.
②证明：函数 $g (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + 2 x - a - 2 \ln (e^{x} + 1)$ 存在唯一的极值点.
③若不等式 $f (- x e^{x}) + f (m - 2 e^{x}) < 2$ 对 $x \in [- 4, 2]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， PD，BC的中点分别为 $E$ ， $F$ ， $P A = P D$ ， $A D = 2$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD.

(1)、证明： $C E //$ 平面PAF.

(2)、若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{20}$ ，求棱PB的长.

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11、已知抛物线 $M$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 为椭圆 $N$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，且 $N$ 的短轴长为4.

(1)、求 $N$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 且倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l$ 与 $N$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段AB的中垂线与 $x$ 轴交于点 $E$ ，求 $△ A B E$ 的面积.

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12、某企业有甲，乙两条生产线，每条生产线都有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个流程，为了比较这两条生产线的优劣，经过长期调查，可知甲生产线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个流程的优秀率分别为0.9，0.9，0.8，乙生产线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个流程的优秀率分别为0.8，0.85，0.92.已知每个流程是否优秀相互独立.

(1)、求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概率.

(2)、为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个流程进行赋分.当 $A$ 流程优秀时，赋30分，当 $A$ 流程不优秀时，赋0分；当 $B$ 流程优秀时，赋40分，当 $B$ 流程不优秀时，赋0分；当 $C$ 流程优秀时，赋50分，当 $C$ 流程不优秀时，赋0分.记甲生产线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 流程的赋分分别为 $X_{1}$ ， $Y_{1}$ ， $Z_{1}$ ，乙生产线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 流程的赋分分别为 $X_{2}$ ， $Y_{2}$ ， $Z_{2}$ ，计算 $E (X_{1}) + E (Y_{1}) + E (Z_{1})$ 与 $E (X_{2}) + E (Y_{2})$ $+ E (Z_{2})$ ，并据此判断甲、乙哪条生产线更优秀.

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13、数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为 $3 \times 5^{2} + 2 \times 5^{1} + 4 = 89$ .若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin A + b \sin B = c \sin C - \sqrt{3} b \sin A$ ，则 $C =$ .

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15、若双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与双曲线 $N$ ： $\frac{y^{2}}{m} - \frac{x^{2}}{m + 8} = 1 (m > 0)$ 的焦距相等，则 $N$ 的离心率为.

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16、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 3)$ 处的切线斜率为 $- 2$ C、 $\exists x \in (0, 1)$ ， $f (x) \leq f (\frac{1}{x})$ D、不等式 $f (x) + e x \ln x > 1.8$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立

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17、下列命题是真命题的是（）

A、若随机变量 $X ~ B (10, 0.2)$ ，则 $D (X) = 1.6$ B、若随机变量 $X ~ N (1, 4)$ ，则 $P (X < 0) = P (X > 2)$ C、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 与数据 $x_{1} + 1$ ， $x_{2} + 1$ ， $x_{3} - 1$ ， $x_{4} + 1$ ， $x_{5} + 1$ 的中位数可能相等 D、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 与数据 $x_{1} + 1$ ， $x_{2} + 1$ ， $x_{3} - 1$ ， $x_{4} + 1$ ， $x_{5} + 1$ 的极差不可能相等

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18、已知点 $P (4 m + 3, - 3 m - 4)$ ，若点 $Q$ 在圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上，则（）

A、点 $P$ 在直线 $3 x + 4 y + 7 = 0$ 上 B、点 $P$ 可能在圆 $C$ 上 C、 $|P Q|$ 的最小值为1 D、圆 $C$ 上至少有2个点与点 $P$ 的距离为1

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x} + 1, x \leq 1 \\ 2 |x^{2} - 6 x + 8|, x > 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 零点的个数为3或4，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, 6) \cup \{1\}$ C、 $(0, 1) \cup \{2\}$ D、 $(0, 1] \cup [2, 4]$

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20、将函数 $f (x) = \sin (2 ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若曲线 $y = g (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称，则 $g (x)$ 的最小正周期的最大值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{8}$

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