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1、【阅读理解】我们在分析和解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，作差法就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要计算 $A - B$ 的值，若 $A - B > 0$ ，则 $A > B$ ；若 $A - B = 0$ ，则 $A = B$ ；若 $A - B < 0$ ，则 $A < B$ ．
【知识运用】用上述方法，解决以下问题：
（1）比较大小： $x - 1$ ___________ $x - 3$ ．
（2）当 $x > y$ 时，比较 $3 x + 5 y$ 与 $2 x + 6 y$ 的大小，并说明理由．
【解决问题】
（3）图①是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加 $2 a (a > 0)$ 得到如图②所示的长方形，此长方形的面积为 $S_{1}$ ；将正方形的边长增加a，得到如图③所示的大正方形，此时大正方形的面积为 $S_{2}$ _．
①请判断 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小关系，并说明理由；
②已知 $A = 2024 \times 2026 ， B = 2025^{2}$ ，则A与B的大小关系为：A___________B．

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2、如图，直线 $a ∥ b$ ，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，点D为直线a上一点（位于点A的右侧）， $A D = 1.5 cm$ ． $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，交直线b于点C，把三角形 $A B C$ 沿着平行线向右平移得到三角形 $D E F$ ．

(1)、请说明 $∠ B A D = 2 ∠ D F E$ ；

(2)、若三角形 $A B C$ 的周长是 $9 cm$ ，求四边形 $A B F D$ 的周长．

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3、如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，三角形 $A B C$ 的三个顶点都在格点上．在方格纸内将三角形 $A B C$ 经过一次平移后得到三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，图中标出了点A的对应点 $A^{'}$ ．

(1)、在图中画出平移后的三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、线段 $A C$ 和 $A^{'} C^{'}$ 的数量关系是；

(3)、过点B画出线段 $A C$ 的垂线段 $B D$ 交 $A C$ 于点D．

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4、（1）计算： $\sqrt{36} + {(- \frac{1}{2})}^{0} - 2^{2}$
（2）先化简，再求值： $\frac{2 x - 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ ，其中 $x = 2, y = 1$ ．

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5、某种春季流感病毒的直径约为 $0.0000000803$ 米，该直径用科学记数法表示为米．

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6、某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织七年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅的套数（一桌一椅为一套）为（）

A、81套 B、80套 C、79套 D、75套

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7、若关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} x + m < 0 \\ 2 x - n > 2 \end{array}$ 的解集为 $- 2 < x < 3$ ，则 $m - n$ 的值为（　　）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、3

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8、因式分解 $x^{2} - 5 x + 6$ ，结果正确的是（　　）

A、 $(x + 2) (x + 3)$ B、 $(x - 2) (x - 3)$ C、 $(x - 1) (x - 6)$ D、 $(x + 1) (x - 6)$

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9、下列运算正确的是（　　）

A、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 ${(a^{2} b)}^{3} = a^{5} b^{3}$

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10、如图所示，点A到BC所在的直线的距离是指图中线段( )的长度．

A、AC B、AF C、BD D、CE

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11、下列四个汽车标志中，能用平移得到的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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12、点 $(2, 4)$ 关于y轴对称的点的坐标是（）

A、 $(4, 2)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(- 2, - 4)$ D、 $(2, - 4)$

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13、如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - 2 x + 2$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $C$ 、 $D$ ，以 $C D$ 为边作正方形 $A B C D$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限经过点 $A$ ．

(1)、直接写出点 $C$ 、 $D$ 、 $A$ 的坐标及 $k$ 的值；

(2)、如图②，将直线 $O A$ 向下平移得到直线 $E F$ ，交 $x$ 轴于点 $E$ ，交 $y$ 轴于点 $F$ ，交 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $G$ ，若 $S_{△ A O G} = 6$ ，求直线 $E F$ 的解析式；

(3)、如图③，将直线 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 后与第一象限的双曲线交于点 $P$ ，求点 $P$ 的横坐标．

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14、【阅读】
三角形中位线定义：在 $△ A B C$ 中，若点 $D 、 E$ 分别是 $A B$ 与 $A C$ 的中点．则 $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

(1)、【定理证明】
证明三角形的中位线定理的方法有多种．我们可以延长 $D E$ 至 $F$ ，使得 $D E = E F$ ，连接 $C F$ ，再利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明．
已知：在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点．
求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

(2)、【定理应用】
①顺次连接菱形 $A B C D$ 四条边的中点所得的四边形一定是（）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
②在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边的中点， $A E$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $A E ⊥ C E$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ．若 $A C = 10$ ， $D E = 3$ ，求 $A B$ 的长．

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15、年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，进价和售价见表，且用320元购买敖丙挂件的个数与用400元购买哪吒挂件个数一样多．

敖丙挂件
哪吒挂件
进价（元/个）
$m$
$m + 2$
售价（元/个）
11
15

(1)、求 $m$ 的值

(2)、若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共1000件，其中敖丙挂件 $x$ 个，两种挂件全部销售后获得的利润为 $y$ 元，该批发商最多投入资金8600元用来采购且全部销售后利润不低于3500元，
求① $y$ 与 $x$ 的函数关系式
②该批发商采取何种进货方案获利最大，最大利润是多少元？

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16、已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A N$ 是 $△ A B C$ 外角 $∠ C A M$ 的平分线， $C E ⊥ A N$ ，垂足为点 $E$ ．

(1)、用尺规完成以下基本作图：作 $∠ B A C$ 的角平分线，交 $B C$ 于点 $D$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在（1）的基础上求证：四边形 $A D C E$ 为矩形；

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17、我市某学校为推动“五育”并举，提高学生的综合素质，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【收集、整理数据】同学们随机收集桂花树、香樟树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长 $y$ （单位： $cm$ ），宽 $x$ （单位： $cm$ ）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
桂花树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
香樟树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
【分析数据】

平均数
中位数
众数
方差
桂花树叶的长宽比
3.74
$m$
4.0
0.0424
香樟树叶的长宽比
$n$
1.95
2.0
0.0669
【应用数据】

(1)、上述表格中： $m =$ ， $n =$ ；

(2)、甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为桂花树叶的形状差别大．”乙同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现香樟树叶的长约为宽的两倍．”
哪位同学的说法合理？答：．

(3)、现有一片长 $10.3 c m$ ，宽 $5.1 c m$ 的树叶，请判断这片树叶更可能来自于桂花、香樟中的哪种树？并给出你的理由．

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18、计算或解方程

(1)、计算： $\sqrt[3]{- 8} + {(π - 3.14)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 3} + {(- 1)}^{2025}$ ；

(2)、计算 $\frac{a^{2}}{a - b} - a - b$ ；

(3)、解方程 $\frac{x + 1}{4 x^{2} - 1} = \frac{2}{2 x - 1} + \frac{1}{2 x + 1}$ ；

(4)、先化简，再求值： $(\frac{a + 1}{2 a - 2} - \frac{1}{2 a^{2} - 2}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中 $- 1 \leq a \leq 2$ ，选取一个合适的整数．

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19、如图， $P$ 是函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，直线 $y = - x + 3$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，作 $P N ⊥ y$ 轴于点 $N$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，当 $A F \cdot B E = 10$ 时， $k$ 的值为．

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20、观察下列一串单项式： $x$ ， $- 2 x^{2}$ ， $4 x^{3}$ ， $- 8 x^{4}$ ， $16 x^{5}$ …，则第10个单项式为．

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	敖丙挂件	哪吒挂件
进价（元/个）	$m$	$m + 2$
售价（元/个）	11	15

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
桂花树叶的长宽比	3.8	3.7	3.5	3.4	3.8	4.0	3.6	4.0	3.6	4.0
香樟树叶的长宽比	2.0	2.0	2.0	2.4	1.8	1.9	1.8	2.0	1.3	1.9

	平均数	中位数	众数	方差
桂花树叶的长宽比	3.74	$m$	4.0	0.0424
香樟树叶的长宽比	$n$	1.95	2.0	0.0669