相关试卷

1、 $2025$ 年 $4$ 月 $24$ 日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”火箭模型，已知火箭模型每件的进货价为 $30$ 元，经市场调研发现，当该火箭模型的销售单价为 $40$ 元时，每天可销售 $280$ 件；当销售单价每增加 $1$ 元，每天的销售数量将减少 $10$ 件．设火箭模型的销售单价增加 $x$ 元．

(1)、当天火箭模型的销售量为_____件；

(2)、求当该火箭模型的销售单价为多少元时，该产品当天的销售利润是 $3610$ 元．

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2、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °, B C = 4, A B = 8$ ．

(1)、利用尺规作 $A C$ 的垂直平分线 $D E$ ，垂足为 $E$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求 $D E$ 的长度．

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3、2025年11月，深圳将迎来第十五届全国运动会，简称“十五运会”．十五运会是粤港澳三地承办的我国规模最大、水平最高、影响最广的综合性运动会．若某校将承担本次运动会的志愿服务工作，其服务项目有：“后勤保障”“礼仪指引”“裁判辅助”“检录服务”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中，“裁判辅助”对应的圆心角是___________；

(3)、本次志愿服务需要后勤保障人员300人，已知该校共有2400名师生，有 $60 %$ 的师生参加志愿者服务，请预估后勤保障人员是否足够？

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4、解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$

(2)、 $x (x - 5) = 2 x - 10$

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5、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 3) x + k^{2} = 0$ 的两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，以，已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 在满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - 1$ ，则 $k$ 的值为．

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6、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 6, B D = 8$ ，则菱形 $A B C D$ 的周长为．

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7、四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 120 °$ ，点B在 $C D$ 垂直平分线上，点F在边 $A B$ 上，且与点D关于直线 $A C$ 对称，若 $A F = 3$ ， $F B = 2$ ，则 $E C =$ ．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 在直线 $A B$ 上运动，以 $C D$ 为边在右侧作等腰 $Rt △ C D E$ ，使 $∠ D C E = 90 °$ ， $D C = E C$ ，取 $B C$ 中点 $F$ ，连接 $E F$ ，当 $E F$ 的值最小时， $A D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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9、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ，把 $△ A B C$ 沿着直线 $A B$ 翻折得到 $△ A B P$ ，过点 $A$ 作 $A E ∥ B C$ 交 $B P$ 于点 $D$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $A D = D B$ ；

(2)、若 $A D = 10$ ， $△ B D E$ 是以 $D B$ 为腰的等腰三角形，求此时 $A E$ 的长；

(3)、若 $B E ⊥ A B$ ，且 $\frac{S_{Δ A P D}}{S_{Δ B D E}} = \frac{5}{6}$ ，求 $\frac{B C}{A E}$ 的值．

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10、根据以下信息，探索完成任务：

素材1	采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用 $A$ 、 $B$ 两种型号的客车，其中 $A$ 型车每辆租金500元， $B$ 型车每辆租金400元
素材2	4辆 $A$ 型车和3辆 $B$ 型车坐满后共搭载200人，3辆 $A$ 型车和4辆 $B$ 型车坐满后共搭载185人．
素材3	该年级计划租用 $A$ 、 $B$ 两种型号的客车共20辆，且 $A$ 型车的数量不少于 $B$ 型车的数量的7倍．

问题解决：

(1)、每辆

A

、

B

型车坐满后分别可以搭载几人？

(2)、请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．

(3)、若该年级准备只租用

B

型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆

B

型车？有多少名学生参加研学活动？

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11、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长

(1)、已知 $a = 3$ ， $b = 5$ ，求 $c$ 的取值范围；

(2)、若 $b = 2 a - 1$ ， $c = a + 5$ ，且 $△ A B C$ 的周长不超过24，求 $a$ 的取值范围．

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12、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 12$ ， $B C = 9$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上的一点，且 $B D = 3$ ，点 $E$ 是 $A B$ 边上一个动点，连接 $D E$ ．现以 $D E$ 为一边在右侧作等边 $△ E F D$ ，连接 $C F$ ．
（1）当点 $E$ 与点 $B$ 重合时， $C F =$ ．
（2）在点 $E$ 运动过程中，线段 $C F$ 的最小值为．

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13、有下列说法：①有一个角为 $60 °$ 的等腰三角形是等边三角形；②三边长分别为 $\sqrt{14}$ ， $\sqrt{5}$ ， 3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的是（填序号）．

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14、平面直角坐标系中，若点 $A (a - 3, a + 2)$ 在 $y$ 轴上，则点 $A$ 的坐标为．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = A D$ ， $B D = 10$ ， $C D = 8$ ，记 $A B$ 长为 $x$ ， $A C$ 长为 $y$ ．当 $x$ ， $y$ 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x - y$ C、 $x^{2} + y^{2}$ D、 $x^{2} - y^{2}$

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16、根据下列表述，不能确定位置的是（）

A、东经 $118 °$ ，北纬 $40 °$ B、杭州市采荷路2号 C、北偏东 $30 °$ D、音乐厅第2排第6座

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17、新知定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”.

(1)、理解应用
如图1，在▱ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则▱ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点.若 $D E = \frac{1}{3} C D, D E = \sqrt{7}, B P = 6,$ 则DP =；AD=.

(2)、问题探究
如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足 $A E = \frac{1}{3} A B .$ 若CE=CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由.

(3)、拓展延伸
如图3，已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB=6，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长度.

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18、如图1左图所示是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即 $F_{A} \times L_{1} = F_{B} \times L_{2}) .$ 受桔槔的启发，小轩组装了如图1右图所示的装置，其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端 $L_{1} = 1 m,$ 距右端 $L_{2} = 0.4 m,$ 在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A.

(1)、若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为N；

(2)、为了让装置有更多的使用空间，小轩准备调整装置，当重物B的质量变化时， $L_{2}$ 的长度随之变化.设重物B的重量为xN，L₂的长度为ycm.则：
①y关于x的函数解析式是 ▲ ；
②根据下表，填空：
x/N
…
10
20
30
40
50
…
y/cm
…
8
a
83
2
b
…
a= ▲ ， b= ▲ ；
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象；

(3)、在（2）的条件下，若点A的坐标为（20，0），点B的坐标为（0，2），在函数的图象上存在点C使得S_△ABC=40，请直接写出所有满足条件的点C的坐标.

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19、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.

(1)、求证：四边形ADCE是矩形；

(2)、连接BE，若AC=10，BC=12，求BE的长

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20、综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD（规格：AB=40cm，BC=100cm），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示.

(1)、若收纳盒高是10cm，则该收纳盒底面的边EF=cm，EH=cm；

(2)、如图3，若收纳盒的底面积是350cm² ，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒?（不考虑倾斜放入且要盖上盖子）

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x/N	…	10	20	30	40	50	…
y/cm	…	8	a	83	2	b	…