相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{a - c o s B}{a - c o s C} = \frac{s i n B}{s i n C}$ ．

(1)、若 $b \neq c$ ，证明： $a^{2} = b + c$ ；

(2)、若 $B = 2 C$ ，证明： $2 c > b > \frac{2}{3}$ ．

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2、某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x，y（i=1，2…，10）.试验结果如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率х₁
545
533
551
522
574
544
541
568
596
536
伸缩率у₁
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记 $z_{i} = x_{i} - y_{i} (i = 1, 2, ⋯, 10)$ ，记 $z_{1}, z_{2}, ⋯, z_{10}$ 的样本平均数为 $\bar{z}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ．

(1)、求 $\bar{z}, s^{2}$ ；

(2)、判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 $\bar{z} \geq 2 \sqrt{\frac{s^{2}}{10}}$ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

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3、已知向量 $\vec{a} = (c o s x, s i n x)$ ， $\vec{b} = (3, \sqrt{3})$ ， $x \in [0, π]$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求x的值；

(2)、记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数 $y = f (x)$ 的最大值和最小值及对应的x的值.

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4、在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是.

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5、某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为.

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6、如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，点A是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，点A到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为1，2.点B是直线 $l_{2}$ 上一个动点，过点A作 $A C ⊥ A B$ ，交直线l_1于点C， $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，则（）

A、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ B、 $△ G A B$ 面积的最小值是 $\frac{2}{3}$ C、 $| \vec{A G} | \geq 1$ D、 $\vec{G A} \cdot \vec{G B}$ 存在最小值

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7、过 $△ A B C$ 所在平面 $α$ 外一点P，作 $P O ⊥ α$ ，垂足为O，连接PA、PB、PC，则下列说法正确的是（）

A、若 $P A = P B = P C$ ，则点O是 $△ A B C$ 的外心 B、若 $P A = P B = P C$ ， $∠ C = 9 0^{°}$ ，则点O是AB边的中点 C、若 $P A ⊥ P B$ ， $P B ⊥ P C$ ， $P C ⊥ P A$ ，垂足都为P，则点O是 $△ A B C$ 的垂心 D、若P到 $△ A B C$ 三条边的距离相等，则点O是 $△ A B C$ 的重心

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x y) = y^{2} f (x) + x^{2} f (y)$ ，则（）.

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = 0$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 是奇函数

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9、在空间中，过点A作平面 $π$ 的垂线，垂足为B，记 $B = f_{π} (A)$ .设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，对空间任意一点P， $Q_{1} = f_{β} [f_{α} (P)]$ ， $Q_{2} = f_{α} [f_{β} (P)]$ ，恒有 $P Q_{1} = P Q_{2}$ ，则（）

A、平面\alpha与平面\beta垂直 B、平面 $α$ 与平面 $β$ 所成的（锐）二面角为 $4 5^{°}$ C、平面 $α$ 与平面 $β$ 平行 D、平面 $α$ 与平面 $β$ 所成的（锐）二面角为 $6 0^{°}$

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10、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7’，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、丙与丁相互独立

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11、函数 $f (x) = - x^{2} + (e^{x} - e^{- x}) s i n x$ 在区间[-2.8，2.8]的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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13、设 $a = 4 . 2^{- 0.2}$ ， $b = 4 . 2^{0.2}$ ， $c = l o g_{4.2} 0.2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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14、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是向量，则“ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ”是“ $\vec{a} = - \vec{b}$ 或 $\vec{a} = \vec{b}$ ”的（）.

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、如图1，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $3 \sqrt{5}$ ，点 $E$ 是正方形内一动点，且 $C E = C B$ ，连结 $A E$ 、 $B E$ 、 $D E$ ，并延长 $D E$ 交 $A B$ 于 $F$ ．

(1)、求证： $∠ B E F = 45 °$ ；

(2)、若 $A E ⊥ B E$ 时，
①如图2，求 $A F$ 的长度；
②如图3，延长 $D F$ 至点 $G$ ，使得 $A G = A D$ ，连结 $B G$ ．求 $△ A G F$ 与四边形 $B C E F$ 的面积比；

(3)、在图1中， $E$ 在运动过程中，当 $\frac{A E}{D E}$ 的值最小时，求 $B E$ 的长．（直接写出答案）

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16、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ （ $a$ ， $b$ 为常数）经过点 $A (1, 4)$ ， $B (- 2, - 5)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当 $x = p$ 时， $y > 0$ ，当 $x = q$ 时， $y < 0$ ，且 $p$ ， $q (p < q)$ 为两个连续偶数，求 $p + q$ 的值；

(3)、该抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与直线 $y = k x - k + 4$ （ $k$ 为常数且 $k > 0$ ）相交于 $C (x_{1}, y_{1})$ ， $D (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $C$ 在 $D$ 的左侧．若在 $x_{1} < x < x_{2}$ 范围内， $x$ 的取值恰好有3个整数值，求 $k$ 的取值范围．

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17、如图，学校为美化环境，准备用总长为 $29 m$ 的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃 $A B C D$ ，其中墙长 $19 m$ ，花圃三边外围用篱笆围起，并在边 $B C$ 上留一个 $1 m$ 宽的门（建在 $E F$ 处，另用其他材料）．

(1)、若花圃的面积为 $100 m^{2}$ ，求花圃的一边 $A B$ 的长；

(2)、花圃的面积能达到 $120 m^{2}$ 吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．

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18、如图，一次函数 $y_{1} = a x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图像交于点 $A (m, 4)$ ， $B (- 6, - 2)$ ．

(1)、求 $k$ 的值和一次函数的表达式；

(2)、根据函数图象，直接写出不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集．

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19、2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长约 $8.5 h$ ，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了部分学生参加“航空航天”知识测试，并将测试成绩（百分制）整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别
成绩 $x$ /分
百分比
A组
$x < 60$
$5 %$
B组
$60 \leq x < 70$
$15 %$
C组
$70 \leq x < 80$
$a$
D组
$80 \leq x < 90$
$35 %$
E组
$90 \leq x \leq 100$
$25 %$
成绩条形统计图
根据所给信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的成绩统计表中 $a =$ ，并补全条形统计图；

(2)、被抽取的学生成绩的中位数落在组（填A ， B ， C ， D或E）；

(3)、试估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数．

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20、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点， $D B$ 、 $C E$ 交于点 $F$ ， $D F = B F$ ， $A F ∥ D C$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C D$ 为平行四边形；

(2)、若 $∠ E F B = 90 °$ ， $E F = 2$ ， $D F = 5$ ，求 $B C$ 的长．

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试验序号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率х₁	545	533	551	522	574	544	541	568	596	536
伸缩率у₁	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

组别	成绩 $x$ /分	百分比
A组	$x < 60$	$5 %$
B组	$60 \leq x < 70$	$15 %$
C组	$70 \leq x < 80$	$a$
D组	$80 \leq x < 90$	$35 %$
E组	$90 \leq x \leq 100$	$25 %$