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1、数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：__________；图2： ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；图3：__________．
这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
方法一：从“数”的角度解：
$∵ a + b = 3$ ，
$∴ {(a + b)}^{2} = 9$ ，即： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$ ，
又 $∵ a b = 1$ ，
$∴ a^{2} + b^{2} = 7$ ．
方法二：从“形”的角度解：
$∵ a + b = 3$ ，
$∴ S_{大正方形} = 9$ ，
又 $∵ a b = 1$ ，
$∴ S_{2} = S_{3} = a b = 1$ ，
$∴ S_{1} + S_{4} = S_{大正方形} - S_{2} - S_{3} = 9 - 1 - 1 = 7$ ．即 $a^{2} + b^{2} = 7$ ．
类比迁移：
（2）若 $a + b = 5$ ， $a b = 6$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ __________．
（3）若 $a$ ， $b$ 为非负数， $a - b = 3$ ， $a b = 1$ ，则 $a + b =$ __________．
（4）若 $(5 - x) (x - 1) = 3$ ，则 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 1)}^{2} =$ __________．
（5）如图5，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C$ ， $B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 10$ ，两个正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 72$ ，求图中阴影部分面积．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上， $M$ 是 $B D$ 的中点， $E$ 是线段 $C A$ 上一动点，且 $C E = C D$ ，连接 $A D$ ，作 $D F ⊥ A D$ 交 $E M$ 延长线于点 $F$ ．猜想线段 $A D$ 与 $D F$ 的数量关系，并证明你的结论．

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3、观察下列一组等式：
$(a + 1) (a^{2} - a + 1) = a^{3} + 1$ ；
$(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8$ ；
$(a + 3) (a^{2} - 3 a + 9) = a^{3} + 27$ ；
$(a - 4) (a^{2} + 4 a + 16) = a^{3} - 64$ ．

(1)、利用你的发现填空．
① $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) =$ _____；
② $(2 x + 1)$ （_____） $= 8 x^{3} + 1$ ；
③（_____） $(x^{2} + 4 x y + 16 y^{2}) = x^{3} - 64 y^{3}$ ；

(2)、利用你发现的规律计算： $(a + b) (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2})$

(3)、利用你发现的规律解决问题．若 $a + b = 3$ ， $a b = - 10$ ，则 $a^{3} + b^{3}$ 的值为__________．

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ D E C$ 中， $∠ B = ∠ D E C = 90 °$ ，延长 $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，已知 $A B = D E$ ， $A C = D C$ ，若 $A F = 3$ ， $D E = 7$ ，求 $E F$ 的长度．

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5、如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 上的高， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B = 65 °$ ， $∠ C = 45 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

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6、如图，在 $△ A C F$ 和 $△ B D E$ 中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上， $∠ C A F = ∠ D B E$ ， $A B = C D$ ， $∠ E = ∠ F$ ．求证： $C F ∥ D E$ ．

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7、先化简，再求值： $[(3 x + 1) (3 x - 1) - {(2 x + 3)}^{2} + (x + 2) (x + 5)] \div x$ ，其中 $x = - 1$ ．

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8、计算： $m^{7} \cdot m^{5} + {(- m^{3})}^{4} - {(- 2 m^{4})}^{3}$

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9、我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了 ${(a + b)}^{n}$ （ $n$ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
（1） ${(x + 2)}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的一次项系数是；
（2） ${(a + b)}^{2025}$ 的展开的多项式中各项系数之和为．

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10、如图，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中线，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $D A$ 的延长线上， $C E = B C ， A F = A D$ ，如果 $△ A B C$ 的面积是8，那么 $△ D E F$ 的面积等于．

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11、已知 $2^{m + n} = 32$ ，则 $7 - 2 m - 2 n =$ ．

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12、如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 105 °$ ，则 $∠ E A D =$ ．

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13、计算： $(- 28 x^{4} y^{2}) \div (7 x^{4} y) =$ ．

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14、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ ， $B$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，若 $O A = 2$ ， $O B = 4$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(6, - 2)$ B、 $(- 6, - 2)$ C、 $(4, - 2)$ D、 $(- 4, - 2)$

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15、下列各式添括号，正确的是（）

A、 $a + b - c = a + (b + c)$ B、 $- 3 x + 6 y - 3 = - 3 (x + 2 y + 1)$ C、 $a - b + 2 m = a - (- b + 2 m)$ D、 $10 - 2 x + y^{2} = (10 - 2 x) + y^{2}$

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16、下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(x + 2) (x + 2)$ B、 $(- x + y) (x - y)$ C、 $(x - y) (x + y)$ D、 $(- x - y) (x + y)$

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17、与如图所示的正方形图案全等的图案是（）

A、 B、 C、 D、

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18、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{5} = a^{10}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{3}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{2} = - 4 a^{4}$

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19、下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A、2，2，5 B、3，4，7 C、3，6，8 D、3，5，9

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20、二次函数 $y = x^{2} - 2 x + c$ 的图象经过点 $(4, 3)$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、若一个点的坐标满足 $(k, 2 k)$ ，我们将这样的点定义为“倍值点”．
$①$ 求这个函数“倍值点”的坐标；
$②$ 若 $P (m, n)$ 是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求 $n$ 的最大值与最小值的差．

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