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1、如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 8 ， B C = 5$ ， $A B$ 的垂直平分线 $D E$ 交 $A B$ 于点D，交 $A C$ 于点E，则 $△ B E C$ 的周长为（）

A、13 B、16 C、8 D、10

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2、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{10} \div a^{9} = a (a \neq 0)$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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3、图 1，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为 (1，0)，点 B 坐标为 (0，3)，以线段 AB 为底边向右作等腰直角 $△ A B C$ .

(1)、求边 AC 的长和点 C 的坐标.

(2)、如图 2，将等腰直角 $△ A B C$ 向右平移 m 个单位，记平移后的三角形为 $△ D E F$ ，点 F 恰好在直线 $y = - \frac{2}{3} x + m + 2$ 上，求直线 DF 对应的函数表达式.

(3)、在(2)的条件下，若点 G 为直线 DF 上的动点，使 $∠ G E F ~ ∠ A B O$ ，请直接写出点 G 的坐标.

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4、

(1)、如图1， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等边三角形，点 B，C，D 在一条直线上，连接 AD，BE. 求证： $A D = B E$ .

(2)、如图2， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等边三角形， $∠ E A C = 3 0^{°}$ ， $A C = 4$ ， $A E = 5$ ，连接 AD. 求 AD 的长.

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5、如图，已知直线 $y_{1} = m x$ 过点 $A (- 2, - 4)$ ，过点 A 的直线 $y_{2} = n x + b$ 交 x 轴于点 $B (- 4, 0)$ .

(1)、求两条直线对应的函数表达式.

(2)、观察图象，直接写出当 $y_{2} < y_{1} < 0$ 时 x 的取值范围.

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6、如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，点M为边AB的中点，点E在线段AM上， $E F ⊥ A C$ 于点F，连接CM，CE.已知 $∠ A = 5 0^{°}$ ， $∠ A C E = 3 0^{°}$ .

(1)、求证：CE＝CM；

(2)、若AB＝4，求线段FC的长．

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7、如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上. 用无刻度直尺按照下列要求作图.

(1)、在图 1 中作出 $△ A B C$ 关于直线 BC 对称的 $△ D B C$ .

(2)、在图 2 中作出 $△ A B C$ 的高线 BE.

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8、如图， $△ A B C$ 中，D是AC中点，过D作 $D E ⊥ A B$ 于点E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于F，G，且 $F G = \frac{1}{2} B C$ . 若 $A E = 2$ ， $B E = 5$ ，则DG长为.

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9、在“探索一次函数 $y = k a + b$ 的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0，3)，B(2，2)，C(3，0).同学们画出了经过这三个点中每两个点的直线，并得到对应的函数表达式 $y_{1} = k_{1} x + b$ ， $y_{2} = k_{2} x + b$ ， $y_{3} = k_{3} x + b$ .分别计算 $k_{1} + b$ ， $k_{2} + b$ ， $k_{3} + b$ 的值，其中最小的值等于.

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10、象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为广泛流行的益智游戏. 如图，这是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“帅”的点的坐标分别为 $(1, 1)$ ， $(0, - 2)$ ，则表示棋子“车”的点的坐标为.

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11、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，若 $∠ A = 3 6^{°}$ ，则 $∠ B$ 的度数为.

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12、如图，A，B是直线 $y = \frac{3}{4} x + b (b \neq 0)$ 上任意两点（点A在点B的左侧），分别过点A，点B作y轴，x轴的垂线，两垂线交于点C，过点C作 $C H ⊥ A B$ ，垂足为点H. $△ B C H$ 与 $△ A C H$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{9}{16}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、比值不确定，与b的值有关

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13、关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 4 - 2 x \geq 0 \\ \frac{1}{2} x - a > 0 \end{array}$ 恰有3个整数解，则a的取值范围为( )

A、 $- 1 \leq a < 0$ B、 $- \frac{1}{2} \leq a < 0$ C、 $- 1 < a \leq 0$ D、 $- \frac{1}{2} < a \leq 0$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ， $∠ B = 3 0^{°}$ ，以A为圆心任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若 $C D = 3$ ，则BC的长是（）

A、 $9$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $6$ D、 $3$

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15、已知点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x₁< x₂ ，则y₁与y₂的大小关系是（）

A、y₁< y₂ B、y₁>y₂ C、y₁＝y₂ D、y₁≤y₂

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16、如图，下列关于学校位置的描述正确的是（）

A、位于小明家北偏东 $6 5^{°}$ 方向上的1200米处 B、位于小明家南偏西 $6 5^{°}$ 方向上的1200米处 C、位于小明家北偏东 $2 5^{°}$ 方向上的1200米处 D、位于小明家北偏西 $11 5^{°}$ 方向上的1200米处

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17、如图1，AB 是半圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是半圆上一点，在直径 AB 上取点 $D$ ，使得 $∠ A B C = 2 ∠ A C D$ .

(1)、求证： $B C = B D$ ；

(2)、如图2，在AC延长线上取一点E，使得 $A E = A B$ ，连结BE，过点D作 $D F ⊥ B E$ 于点F，交BC于点G，求 $∠ C D G$ 的度数；

(3)、在(2)的条件下，若 $B E = 5 F G$ ， $C E = 4 \sqrt{5}$ ，求CD的长.

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18、在平面直角坐标系 xOy 中，点 (2，3) 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a > 0)$ 上，对称轴为直线 $x = t$ .

(1)、 t 的值为；

(2)、当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，y 的最大值为 9，求抛物线对应的函数表达式；

(3)、当 $m < x < n$ 时， $3 - a \leq y < 3 a + 3$ ，求 $n - m$ 的最大值.

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19、如图，已知AB是 $⊙ O$ 的直径，D是 $⊙ O$ 上一点，连接OD、BD，点C为AB延长线上一点，连接CD，且 $∠ B D C = \frac{1}{2} ∠ B O D$ .

(1)、证明： $C D^{2} = A C \cdot B C$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为2， $C D = \sqrt{5}$ ，求BC的长.

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20、 2025的夏天，浙江省城市篮球联赛（简称浙BA）火遍全网. 小甬同学观察发现篮球在空中的运行路线近似为一条抛物线，他将某球员投篮后的篮球运行路线绘制成下图. 已知篮圈中心距地面3.05m，球员在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m.

(1)、建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；

(2)、在球出手后，未达到最高点时，若被防守队员出手拦截则属于盖帽，已知某防守球员的最大摸球高度为3.1m，若该球员在距离投篮球员1m处起跳盖帽，请通过计算说明篮球能否顺利投进篮圈.

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