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1、已知 $⊙ O$ 的半径为4，B，C是 $⊙ O$ 上两定点，点A是 $⊙ O$ 上一动点，且 $∠ B A C = 6 0^{°}$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点D，过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F.下列说法中正确的是.
①AD的最大值是8；②点D为 $\overset{⏜}{B C}$ 上一定点；③ $S_{△ A B C}$ 的最大值是 $12 \sqrt{3}$ ；④DF与 $⊙ O$ 相切；⑤若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $2 \sqrt{3} < D F < 4 \sqrt{3}$ 。

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2、若化简 $| 5 - x | - \sqrt{x^{2} - 12 x + 36}$ 的结果为 $2 x - 11$ ，则满足条件的x取值范围是.

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3、如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数， $k \neq 0$ ）的图象经过点A，过A点作AB $⊥ x$ 轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{7}{3}$ ，则k的值为。

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4、已知在整数n的所有约数中，最小的十个正约数分别为1、2、3、4、6、8、12、16、24、36，则n与800的最大公约数为（）

A、8 B、16 C、32 D、36

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5、已知a，b满足（a+1）²-（b-3） $\sqrt{3 - b}$ +|c-4|=0，则a+b+c的值等于（）。

A、3 B、4 C、6 D、7

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6、如果a，b均为自然数，a除以7余2，b除以7余5，当a³>3b时，a³-3b除以7的余数是（）。

A、1 B、3 C、4 D、0

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7、已知p，g均为质数，且满足5p²+3q=59，则以2p+1，2q-7p，q边长的三角形是（）。

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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8、矩形ABCD中，AD= $\sqrt{5}$ ， AB=2 $\sqrt{5}$ ， E、F分别为矩形外的两点，BE=DF= $\sqrt{3}$ ， AF=CE= $\sqrt{2}$ ，则EF=（）。

A、 $2 \sqrt{15} - 1$ B、 $3 \sqrt{6} - 1$ C、 $2 \sqrt{6} + 1$ D、 $\sqrt{25 + 8 \sqrt{6}}$

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9、往429个盒子里装棋子，不管怎么装都至少有5个盒子里的棋子数相同，不装算0个，那么每个盒子最多能装的棋子数是（）。

A、108 B、105 C、107 D、106

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10、五个人站成一排，每个人戴一顶不同的帽子，编号为1、2、3、4、5.每个人只能看到前面的人的帽子，小王一顶都看不到，小孔只看到4号帽子：小田没有看到3号帽子，但看到了1号帽子；小严看到了有3顶帽子，但没有看到3号帽子：小韦看到了3号帽子和2号帽子，那么小严戴（）号帽子。

A、1 B、5 C、3 D、2

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11、如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且D为AO的中点，则△DEF的面积比△ABC的面积少（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{8}{9}$

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12、如图，当太阳光线与地面成60°的角时，测得空中热气球在地面上的影长是12m，则热气球的直径是（）。

A、6 $\sqrt{2}$ m B、12 $\sqrt{3}$ m C、6 $\sqrt{3}$ m D、6m

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13、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠D=30°，过点A作AE⊥BC于点E，若现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，设AF与CD交于点G，则 $\frac{A G}{F G}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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14、如图，在平面直角坐标系中，若直线y₁=-x+a与直线y₂=bx-4相交于点P，则下列结论错误的是（）。

A、方程组 ${\begin{array}{l} y + x = a \\ y - b x = - 4 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 3 \end{array}$ B、方程 $- x + a = b x - 4$ 的解是 $x = 1$ C、不等式 $- x + a < - 3$ 和不等式 $b x - 4 > - 3$ 的解集相反 D、不等式组 $b x - 4 < - x + a < 0$ 的解集是 $- 2 < x < 1$

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15、若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x - a < 0 \\ \frac{x + 3}{2} - 1 \geq \frac{x - 1}{3} \end{array}$ 有解，且关于x的分式方程 $\frac{a}{x - 1} + 1 = \frac{x}{1 - x}$ 的解为非负数，设满足条件的整数a为 $a_{1}, a_{2}, a_{3} ⋯ ⋯ a_{n}$ ；则 $| a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ ⋯ + a_{n} |$ 的值为（）。

A、10 B、9 C、8 D、7

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16、有下列说法：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②无论k取何实数，多项式 $x^{2} - k y^{2}$ 总能分解成两个一次因式积的形式；③若 $(t - 3)^{3 - 2 t} = 1$ ，则t可以取的值有2个；④关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} a x + 2 y = - 5 \\ - x + a y = 2 a \end{array}$ ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 1 \end{array}$ ，其中正确的有（）。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17、如图，某小区有块长为 $4 \sqrt{2} m$ ，宽为 $\sqrt{8} m$ 的长方形空地，现要在中间修建一个长为 $\sqrt{12} m$ ，宽为 $(\sqrt{3} + 1) m$ 的花坛，则图中空白部分的面积为（） $m^{2}$ 。

A、 $(10 - 2 \sqrt{3})$ B、 $(10 + 2 \sqrt{3})$ C、10 D、 $(10 + \sqrt{3})$

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18、综合与探究：如图， $∠ A O B = 90 °$ ，点P在 $∠ A O B$ 的平分线上， $P A ⊥ O A$ 于点A ．

(1)、【操作判断】
如图①，过点P作 $P C ⊥ O B$ 于点C ，根据题意在图①中画出 $P C$ ，图中 $∠ A P C$ 的度数为度；

(2)、【问题探究】
如图②，点M在线段 $A O$ 上，连接 $P M$ ，过点P作 $P N ⊥ P M$ 交射线 $O B$ 于点N ，求证： $O M + O N = 2 P A$ ；

(3)、【拓展延伸】
点M在射线 $A O$ 上，连接 $P M$ ，过点P作 $P N ⊥ P M$ 交射线 $O B$ 于点N ，射线 $N M$ 与射线 $P O$ 相交于点F ，若 $O N = 3 O M$ ，求 $\frac{O P}{O F}$ 的值．

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19、[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 进行配方．
解： $x^{2} - 2 x + 3 = x^{2} - 2 x + 1 + 2 = (x^{2} - 2 x + 1) + 2 = {(x - 1)}^{2} + 2$ ．
我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ ， $b$ 是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$ ．再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ （ $x$ ， $y$ 是整数），所以 $M$ 也是“雅美数”．

(1)、[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是．

(2)、若二次三项式 $x^{2} - 6 x + 13$ （ $x$ 是整数）是“雅美数”，可配方成 ${(x - m)}^{2} + n^{2}$ （ $m$ ， $n$ 为常数），则 $m n$ 的值为；

(3)、[问题探究]已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 8 x - 12 y + k$ （ $x$ ， $y$ 是整数， $k$ 是常数且 $x \neq - 4$ ， $y \neq \frac{3}{2}$ ），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的 $k$ 值．

(4)、[问题拓展]已知实数 $M$ ， $N$ 是“雅美数”，求证： $M \cdot N$ 是“雅美数”．

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20、尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中，点E在 $A D$ 边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．

(1)、请在图中作出折痕，交 $A B$ 边于点F ，交 $C D$ 边于点G ，连接 $E F$ ，并在矩形纸片内用尺规作出一点M ，使得四边形 $B F E M$ 是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
作图步骤1（作出折痕）：
作图步骤2（作出点M）：
证明：

(2)、在（1）的条件下，若折痕 $F G$ 交 $B E$ 于点H ，连接 $A H$ ，若 $A H$ 长为6， $B F$ 为 $2 \sqrt{11}$ ，直接写出 $F M$ 的长．

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