相关试卷

1、【问题背景】
如图1，已知正方形 $A B C D$ 的边长为3，点E是边 $A B$ 上的一点，把 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 对折后，点A落在点F处．

(1)、【问题探究】
如图2，当 $A E = 1$ 时，正方形的对角线 $A C$ 与 $D E$ 相交于点M ，与正方形另一条对角线 $B D$ 相交于点O ，连接 $O F$ 并延长，交线段 $A B$ 于点G ．
①求 $\frac{A M}{M C}$ 的值，并说明点M是 $O A$ 的中点；
②试探究 $O G$ 与 $D E$ 有怎样的位置关系，并说明理由．

(2)、【拓展延伸】
如图3，点H是线段 $D F$ 上的一点，且 $D H = 1$ ，连接 $B F$ 、 $C H$ ．在点E从点A运动到点B的过程中，求 $B F + C H$ 的最小值．

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2、【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形 $A B C D$ 的面积为2，则这个格点正方形的边长为 $\sqrt{2}$ ．
【问题解决】

(1)、图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形 $E F G H$ 的边 $E H =$ ．

(2)、在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为 $\sqrt{8}$ 的格点正方形．

(3)、若 $a$ 是 $\sqrt{8}$ 的整数部分， $b$ 是 $\sqrt{8}$ 的小数部分，求 ${(a - b)}^{- 2}$ 的值．

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3、已知 $3 a - 2$ 的平方根为 $\pm 4$ ， $3 a - 2 b - 2$ 的立方根为2．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $2 a + b$ 的平方根及 $8 a + 4 b$ 的立方根．

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4、某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到 $15 m (A B = C D = 15 m)$ ，消防车高 $3 m (O E = 3 m)$ ．救人时云梯伸长至最长，在完成从 $12 m (B E = 12 m)$ 高的B处救人后，还要从 $15 m (D E = 15 m)$ 高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离 $A C$ ．

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5、如图是某校的平面示意图，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度．完成以下问题：

(1)、请以图中广场为原点，以正东方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系；

(2)、在（1）的前提下写出图上餐厅坐标，体育馆坐标，教学楼坐标，实验楼坐标；

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6、求下列各式中 $x$ 的值：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} = 4$ ；

(2)、 $8 x^{3} = 27$ ．

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7、计算： $\sqrt{32} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{- 27}$ ．

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8、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ， $I$ 都在长方形 $K L M J$ 的边上，则长方形 $K L M J$ 的面积为．

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9、如图，长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $E$ 是 $B C$ 边上一点，连接 $A E$ ．把 $∠ B$ 沿 $A E$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $B^{^{'}}$ 处，连接 $B^{^{'}} C$ ．当 $∠ C B^{^{'}} E = 90 °$ 时， $B E$ 的长为．

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10、点P(5，﹣4)到x轴的距离是．

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11、比较大小 $\sqrt{43}$ $3 \sqrt{5}$ （填“ $>$ ”，“ $<$ ”，“ $=$ ”）．

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12、在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从 $A$ 点出发，沿着 $A \to B \to C \to D \to A \dots$ 长方形边线循环爬行，其中 $A$ 点坐标为 $(1, - 1)$ ， $B$ 点坐标为 $(- 1, - 1)$ ， $C$ 点坐标为 $(- 1,3)$ ，当蚂蚁爬了 $2025$ 个单位时，它所处位置的坐标为（）

A、 $(- 1,2)$ B、 $(1,3)$ C、 $(- 1, - 1)$ D、 $(1,2)$

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13、已知实数x ， y满足 $| x - 3 | + \sqrt{y + 2} = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、 $x = 3$ ， $y = 2$ B、 $x = - 3$ ， $y = 2$ C、 $x = 3$ ， $y = - 2$ D、 $x = - 3$ ， $y = - 2$

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14、已知一个边长为 $a m$ 的正方形，面积是 $37 m^{2}$ ，则 $a$ 的大小在（）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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15、在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（）

A、 $(2, - 3)$ B、 $(- 3, - 2)$ C、 $(- 2,3)$ D、 $(3,2)$

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16、下列几组数中，是勾股数的一组是（）

A、4，5，6 B、 $0.3$ ， $0.4$ ， $0.5$ C、5， $12$ ， $13$ D、9， $15$ ， $17$

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17、综合与探究：如图， $∠ A O B = 90 °$ ，点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的平分线上， $P A ⊥ O A$ 于点 $A$ ．

(1)、【操作判断】
如图①，过点 $P$ 作 $P C ⊥ O B$ 于点 $C$ ，根据题意在图①中画出 $P C$ ，四边形 $A P C O$ 是那种特殊四边形？并证明你的结论；

(2)、【问题探究】
如图②，点 $M$ 在线段 $A O$ 上，连接 $P M$ ，过点 $P$ 作 $P N ⊥ P M$ 交射线 $O B$ 于点 $N$ ，求证： $O M + O N = 2 P A$ ；

(3)、【拓展延伸】
点 $M$ 在射线 $A O$ 上，连接 $P M$ ，过点 $P$ 作 $P N ⊥ P M$ 交射线 $O B$ 于点 $N$ ，射线 $N M$ 与射线 $P O$ 相交于点 $F$ ，若 $O N = 3 O M$ ，请直接写出 $\frac{O P}{O F}$ 的值．

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18、综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 $8 m^{2}$ 的矩形地块 $A B C D$ 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 $a m$ ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 $a = 10$ ，能否围出矩形地块？

(1)、【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设 $A B$ 为 $x m$ ， $B C$ 为 $y m$ ．由矩形地块面积为 $8 m^{2}$ ，得到 $x y = 8$ ，满足条件的 $(x, y)$ 可看成是反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 $10 m$ ，得到 $2 x + y = 10$ ，满足条件的 $(x, y)$ 可看成一次函数 $y = - 2 x + 10$ 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 $(x, y)$ 就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象与直线 $l_{1}$ ： $y = - 2 x + 10$ 的交点坐标为 $(1, 8)$ 和，因此，木栏总长为 $10 m$ 时，能围出矩形地块，分别为： $A B = 1 m$ ， $B C = 8 m$ ；或 $A B =$ m， $B C =$ m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空；

(2)、【类比探究】
若 $a = 6$ ，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．

(3)、【问题延伸】
当木栏总长为 $a m$ 时，小颖建立了一次函数 $y = - 2 x + a$ ．发现直线 $y = - 2 x + a$ 可以看成是直线 $y = - 2 x$ 通过平移得到的，在平移过程中，求出直线 $y = - 2 x + a$ 与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象有唯一交点时的交点坐标及 $a$ 的值．

(4)、【拓展应用】
外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ $y = - 2 x + a$ 与 $y = \frac{8}{x}$ 图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且 $A B$ 和 $B C$ 的长均不小于 $1 m$ ，请直接写出 $a$ 的取值范围．

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19、根据以下素材，探索完成任务．

素材1	某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2	该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1	设镇流器补进x件，若 $80 < x \leq 110$ ，则补进镇流器的单价为元，补进灯管的总价为元（用含x的代数式表示）；
任务2	若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？

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20、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是 $A B$ 边上的中点，连接 $C D$ ，过点B作 $B E ⊥ C D$ 交 $C D$ 延长线于点E ．已知 $A C = 6, c o s A = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求线段 $C D$ 的长；

(2)、求 $c o s ∠ D B E$ 的值．

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