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1、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4， CM是斜边AB上的中线，N是 BC 边上一点(不与点C重合)，D，E 分别为 CN，MN 的中点，则DE 的长是.

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2、如图 4-5-4，∠BAC 的平分线交△ABC 的中位线 DE 于点 F.若AC=10，AB=6，则EF的长为 ( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、如图，在△ABC 中，∠B=60°，D，E 分别是AB，AC的中点，则∠ADE 的度数是( )

A、60° B、65° C、70° D、75°

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4、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.若BC=4，则DE= ( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、请阅读下面的材料：
问题：解方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0 .$
明明的做法是：将 $x^{2} - 1$ 视为一个整体，设 $x^{2} - 1 = y,$ 则 ${(x^{2} - 1)}^{2} = y^{2},$ 原方程可化为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0,$ 解得 $y_{1} = 1, y_{2} = 4 .$
当y=1时， $x^{2} - 1 = 1,$ 解得 $x = \pm \sqrt{2};$
当y=4时， $x^{2} - 1 = 4,$ 解得 $x = \pm \sqrt{5} .$
故原方程的根为 $x_{1} = \sqrt{2}, x_{2} = - \sqrt{2}, x_{3} = \sqrt{5},$ $x_{4} = - \sqrt{5} .$
请用整体换元法解下列方程：

(1)、 ${(x - 2)}^{2} - 3 (x - 2) + 2 = 0;$

(2)、 ${(x^{2} - 5)}^{2} - x^{2} + 5 = 0;$

(3)、 $x^{4} - x^{2} - 6 = 0 .$

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6、一般地，对于二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq$ 0)，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即 $a = a_{1} a_{2},$ 常数项c可以分解成两个因数之积，即 $c = c_{1} c_{2},$ 把a₁ ， a₂ ， C₁ ， C₂按图排列：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1},$ 若它正好等于二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ 的一次项系数b，即 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1} = b,$ 则二次三项式就可以分解为两个因式 $a_{1} x + c_{1}$ 与 $a_{2} x + c_{2}$ 之积，即 $a x^{2} + b x + c = (a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2}) .$ 像这种借助十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.
请用十字相乘法解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 15 = 0;$

(2)、 $2 x^{2} - x - 6 = 0;$

(3)、 $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0 .$

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7、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - x - 3 = 0;$

(2)、 $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0 .$

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8、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x = 0;$

(2)、 ${(x - 3)}^{2} = 2 (x - 3) .$

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9、一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( )

A、x=-1 B、x=0 C、 $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = - 1, x_{2} = 2$

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10、方程 $x^{2} = 5 x$ 的根是
( )

A、x=5 B、x=0 C、 $x_{1} = - 5, x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = 5, x_{2} = 0$

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11、解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x = 2;$

(2)、 $x^{2} + 4 x - 2 = 0 .$

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12、用配方法解方程 $x^{2} + 6 x + 3 =$ 0时，配方结果正确的是 ( )

A、 ${(x + 3)}^{2} = 12$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 12$ C、 ${(x - 3)}^{2} = 6$ D、 ${(x + 3)}^{2} = 6$

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13、解下列方程：

(1)、 $3 y^{2} - 27 = 0;$

(2)、 $2 {(x + 1)}^{2} = 8 .$

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14、方程 ${(x - 1)}^{2} = 16$ 的根为 ( )

A、 $x_{1} = - 3, x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = - 3, x_{2} = 5$ C、 $x_{1} = - 4, x_{2} = 4$ D、 $x_{1} = x_{2} = \pm 4$

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15、方程 $4 x^{2} - 25 = 0$ 的根为 ( )

A、 $x = \frac{2}{5}$ B、 $x = \frac{5}{2}$ C、 $x_{1} = \frac{5}{2}, x_{2} = - \frac{5}{2}$ D、 $x_{1} = \frac{2}{5}, x_{2} = - \frac{2}{5}$

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16、设a，b，c是不全相等的任意实数，若 $x = a^{2} - b c, y = b^{2} - c a, z = c^{2} - a b,$ 求证：x，y，z中至少有一个大于零.

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17、用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点 D，E 分别在边AC，AB上，BD，CE 相交于点O.求证：BD和CE 不可能互相平分.

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18、如图，在△ABC 中，AB=c，BC=a，AC=b，c>a>b，且 $b^{2} + a^{2} \neq c^{2} .$ 求证：△ABC不是直角三角形(请用反证法证明).

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19、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
已知：如图4，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B，∠C必为锐角.
证明：假设结论不成立，则∠B，∠C……
请将证明过程补充完整.

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20、用反证法证明“如果实数a，b满足 $a^{2} + b^{2} = 0,$ 那么a=0且b=0”时，下列假设中正确的是( )

A、a，b都不是0 B、a，b中只有一个不是0 C、a，b中至少有一个是0 D、a，b中至少有一个不是0

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