相关试卷

1、阅读材料，解决问题．
在计算两位数乘法运算时，有时可使用“头同尾合十”的速算方法．
所谓“头同尾合十”是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为10；
其对应的速算方法是：
第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示；
第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．像这样组成的数就是两位数相乘的结果．例如：
速算 $74 \times 76$ ，先算 $4 \times 6 = 24$ ，再算 $7 \times (7 + 1) = 56$ ，则 $74 \times 76 = 5624$ ；
速算 $59 \times 51$ ，先算 $9 \times 1 = 09$ ，再算 $5 \times (5 + 1) = 30$ ，则 $59 \times 51 = 3009$ ；

(1)、利用上述速算方法，速算 $68 \times 62 =$ ______；

(2)、用 $\bar{a b}$ 和 $\bar{a c}$ 分别表示两个两位数，其中 $a$ 表示十位数字， $b$ 和 $c$ 表示它们的个位数字，且 $b + c = 10$ ．
①依据题意，两位数 $\bar{a b} = 10 a + b$ ，则两位数 $\bar{a c} =$ ______；
②该速算方法为 $\bar{a b} \times \bar{a c} =$ ______，请证明．

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2、观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，=）
（1）①当 $a = 2$ ， $b = 2$ 时， $\frac{a + b}{2}$ ______ $\sqrt{a b}$ ；
②当 $a = 3$ ， $b = 3$ 时， $\frac{a + b}{2}$ ______ $\sqrt{a b}$ ；
③当 $a = 4$ ， $b = 1$ 时， $\frac{a + b}{2}$ ______ $\sqrt{a b}$ ；
④当 $a = 5$ ， $b = 3$ 时， $\frac{a + b}{2}$ ______ $\sqrt{a b}$ ．
（2）写出关于 $\frac{a + b}{2}$ 与 $\sqrt{a b}$ 之间数量关系的猜想：______探究证明：（提示： ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ）
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为______．

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3、综合与实践某数学兴趣小组发现每一个代数式的值都会因为字母的值的变化而有规律的变化，他们通过填写如下表格的方式探索了代数式 $2 x - 3$ 与 $x^{2} + 1$ 的值的变化情况．
$x$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
…
$2 x - 3$
$- 9$
$m$
$- 5$
$- 3$
$- 1$
1
3
…
$x^{2} + 1$
10
5
$n$
1
2
5
10
…
【初步感知】
（1）表中 $m =$ _________， $n =$ _________；
【规律探索】
（2）随着 $x$ 的值逐渐增大时，代数式 $2 x - 3$ 的值随之增大；类似地，代数式 $x^{2} + 1$ 的值随着 $x$ 的值逐渐增大时有怎样的变化？
【拓展应用】
（3）当 $x$ 的值逐渐增大时，代数式 $- |x + 2| - 1$ 的值的变化规律是什么？写出当取何值时，该代数式有最大值，最大值是多少？

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4、已知 $A = m + n$ ， $B = m^{2} - n^{2}$ ， $C = m^{2} - 2 m n + n^{2}$ .

(1)、若 $\frac{A}{B} = \frac{1}{6}$ ，求 C 的值；

(2)、若 $A = C = 5$ ，求 mn的值；

(3)、在 (1) 的条件下，且 $\frac{2 B - C}{B}$ 为整数，求整数 $m$ 的值.

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5、如果一个正整数 n 的倒数可以分解成两个正整数 a，b (a，b 均不为 n) 倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为 n 的 “最大倒分解”，这个最大的差记为： $F (n) = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ ，例：12 的倒分解为 $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$ ，因为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} > \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，所以最大倒分解为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$ ，所以 $F (12) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

(1)、填空：写出 8 的一种倒分解：；

(2)、计算 F(36) 的值；

(3)、若 $3 m + 6$ 的最大倒分解为 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{m + 2}$ ，且 $F (3 m + 6) = \frac{1}{6}$ ，求 m 的值.

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6、

(1)、找一组不为0的数a，b，c，d，使得 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 成立. 由这组数值计算下面各组中两个分式的值，看看两个分式之间有什么关系.
① $\frac{a + b}{b}$ 和 $\frac{c + d}{d}$ ；
② $\frac{a + b}{a - b}$ 和 $\frac{c + d}{c - d} (a \neq b, c \neq d)$ .

(2)、对于任意一组不为零的数a，b，c，d，若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 成立，(1)中各组两个分式的关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

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7、阅读材料题：
已知： $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ ，求分式 $\frac{2 a + 3 b - c}{a - b + 2 c}$ 的值.
解：设 $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = k$ ；
所以 $\frac{2 a + 3 b - c}{a - b + 2 c} = \frac{6 k + 12 k - 5 k}{3 k - 4 k + 10 k} = \frac{13 k}{9 k} = \frac{13}{9}$ .

(1)、上述解题过程中，第①步运用了的基本性质；第②步中，由 $\frac{13 k}{9 k}$ 求得结果 $\frac{13}{9}$ 运用了的基本性质；

(2)、参照上述材料解题：
已知： $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6}$ 。求分式 $\frac{x + 2 y - 7}{x - 2 y + 3 z}$ 的值.

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8、在解答题目“已知x=2024，求 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} \div \frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{3}} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2}$ 的值”时，小明误将x=2024看成了x=2025，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？

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9、若 $a^{2} + 2 a - 15 = 0$ ，则代数式 $(a + \frac{4 a + 4}{a}) \frac{a^{2}}{a + 2}$ 的值为．

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10、按一定规律排列的式子： $- \frac{3 b}{a} ， \frac{8 b}{a^{3}} ， - \frac{15 b}{a^{5}} ， \frac{24 b}{a^{7}}$ ， ······第n个式子是.

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11、老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”. 过程如下：
整个游戏过程，负责的那一步出现了错误．

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12、已知当 $x = - 4$ 时，分式 $\frac{x - b}{2 x + a}$ 无意义；当 $x = 2$ 时，此分式的值为0，则 $(\frac{2 a}{b})^{2} - \frac{1}{a \cdot b} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 的值是( )

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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13、化简 $(x^{3} y^{2})^{2} \frac{x}{y^{3}}$ ，结果正确的是（）

A、 $x^{5} y$ B、 $x^{6} y$ C、 $x^{6} y^{2}$ D、 $x^{7} y$

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14、端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售. 细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）

A、 $\frac{240}{x} - \frac{240}{x + 2} = 10$ B、 $\frac{240}{x} - \frac{240}{x - 2} = 10$ C、 $\frac{240}{x - 2} - \frac{240}{x} = 10$ D、 $\frac{240}{x + 2} - \frac{240}{x} = 10$

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15、下列计算正确的是( )

A、 $a^{3 m} \div a^{m} = a^{2 m}$ B、 $2 a^{3} \cdot a^{2} = 2 a^{6}$ C、 $(- a^{2})^{3} = a^{6}$ D、 $(- \frac{2 a^{3}}{3 b})^{2} = \frac{2 a^{5}}{9 b^{2}}$

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16、有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式 $\frac{| a + 1 |}{a + 1} - \frac{| a |}{a} - \frac{b - a}{| a - b |}$ 的值是( )

A、-1 B、0 C、1 D、2

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17、化简 $\frac{2 a^{2} b}{6 a b^{2}}$ 的结果是( )

A、 $\frac{a}{3 a b}$ B、 $\frac{2 a}{3 b^{2}}$ C、 $\frac{a}{3 b^{2}}$ D、 $\frac{1}{3}$

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18、若 $\frac{x - 1}{□}$ 是分式，则 $□$ 可以是（）

A、π B、x C、0 D、2024

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19、解答下列问题：

(1)、已知 $5 x - 2 y - 2 = 0$ ，求 $1 0^{5 x} \div 1 0^{2 y}$ 的值；

(2)、若 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{4}$ ， $a^{m} \div a^{n} = a^{8}$ ，求mn的值.

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20、某同学化简a（a+2b）-（a+b）（a-b）出现了错误，解答过程如下：
原式=a²+2ab-（a²-b²）（第一步）
=a²+2ab-a²-b²（第二步）
=2ab-b²（第三步）

(1)、该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么；

(2)、写出此题正确的解答过程.

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$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	…
$2 x - 3$	$- 9$	$m$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	1	3	…
$x^{2} + 1$	10	5	$n$	1	2	5	10	…