相关试卷

1、阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务．
题目：请求出 $y = \frac{1}{x - 1} (3 \leq x \leq 6)$ 的最小值．
小红的过程：
1．列表
$x$
．．．
$- 2$
$- 1$
0
2
3
4
．．．
$y = \frac{1}{x - 1}$
．．．
$- \frac{1}{3}$
$- \frac{1}{2}$
$- 1$
1
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
．．．
2．描点
3．用平滑的曲线连接．
通过观察图象可知：当 $3 \leq x \leq 6$ 时， $y$ 随着 $x$ 的增大而减小，所以当 $x = 6$ 时， $y$ 有最小值 $\frac{1}{5}$ ．
小明的过程：小明将其问题进行了逆推．
求 $\frac{1}{x - 1}$ 的最小值→求 $x - 1$ 的最大值→求 $x$ 的最大值．
通过推理可得：当 $3 \leq x \leq 6$ 时， $x$ 的最大值为6，所以当 $x = 6$ 时， $y$ 有最小值 $\frac{1}{5}$ ．
任务：

(1)、填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）；

(2)、请用小红或者小明或者自己的方法求出 $y = \frac{1}{1 - x} + 2 (- 8 \leq x \leq 0)$ 的最大值；

(3)、直接写出 $y = \frac{x}{x - 1} (- 6 \leq x \leq - 2)$ 的最小值．

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2、如图，工地上竖立着两根电线杆 $A B$ 、 $C D$ ，它们相距 $15 m$ ，分别自两杆上高出地面 $4 m$ 、 $6 m$ 的A、C处，向两侧地面上的E和D、B和F处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳 $A D$ 与 $B C$ 的交点P离地面的高度 $P H$ 是多少米？

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3、如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 $12m$ 的房墙，另外三边用 $25m$ 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个 $1m$ 宽的门．

(1)、所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为 ${80m}^{2}$ ？

(2)、为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用．

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4、解方程：

(1)、 $2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$ ；

(2)、 ${(y - 1)}^{2} = 2 y - 2$ ．

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5、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 13$ ， $C D = 12$ ，点E，F分别在 $B C$ ， $C D$ 上， $B E = 5$ ， $C F = 6$ ，若点G是 $A E$ 的中点，H是 $B F$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长为．

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6、如图， $▱ A B C D$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O，添加下列条件，能使 $▱ A B C D$ 变为菱形的是（）

A、 $A B = C D$ B、 $A C = B D$ C、 $∠ A B C = 90 °$ D、 $A C ⊥ B D$

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7、（1）问题发现
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $A D$ 和 $D C$ 上， $B P ⊥ A Q$ ，垂足为点 $M$ ．求证： $B P = A Q$ ．
（2）类比探究
如图2，在矩形 $A B C D$ 中，点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $A D$ 和 $D C$ 上， $B P ⊥ A Q$ ，垂足为点 $M$ ．求证： $\frac{B P}{A Q} = \frac{A B}{A D}$ ．
（3）拓展延伸
如图3，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = 6$ ， $A D = 9$ ，点 $P$ 和 $Q$ 分别在 $A D$ 和 $D C$ 上， $B P$ 与 $A Q$ 交于点 $M$ 且 $∠ B M Q = 120 °$ ， $A P = 2$ ，求 $\frac{B P}{A Q}$ 的值．

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8、如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，已知点 $A$ 坐标为 $(3, 1)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(- 2, m)$

(1)、求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；

(2)、连接 $O A$ 、 $O B$ ，求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、观察图象直接写出 $a x + b > \frac{k}{x}$ 时x的取值范围是　　；

(4)、直接写出：P为x轴上一动点，当三角形 $O A P$ 为等腰三角形时点P的坐标　　．

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9、在边长为1的正方形的网格中， $△ A B C$ 的顶点均为格点（网格线的交点）

(1)、以C点为位似中心，在网格区域内将 $△ A B C$ 放大2倍得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ；（A的对应点是 $A_{1}$ ， $B$ 的对应点是 $B_{1}$ ）

(2)、求出 $△ A_{1} B_{1} C$ 的面积；

(3)、请用无刻度的直尺画出 $△ A B C$ 的高 $C D$ （保留作图痕迹）

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10、如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，矩形 $O A B C$ 的边 $O A$ 、 $O C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与矩形 $O A B C$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ，且 $A E = B E$ ，连接 $O E$ 、 $O F$ 、 $E F$ ，若 $S_{△ E O F} = 5$ ，则反比例函数的表达式为．

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11、如图，矩形ABCD的边长AD＝8，AB＝6，E为AB的中点，AC分别与DE，DB相交于点M，N，则MN的长为．

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12、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 的一个根为 $- 2$ ，则方程的另一个根为．

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13、如下图，在平行四边形 $A B C D$ 中，增加一个条件后，平行四边形 $A B C D$ 就成为矩形，这个条件可以是

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14、若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ ．则 $\frac{a}{b}$ 的值为（）

A、6 B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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15、鸡心杯的造型为敞口，口以下内收，瘦底，圈足．因杯心下凹呈深圆涡状，底心凸起鸡心形而得名．如图是一款鸡心杯的实物图，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B = 4$ ，动点 $P$ 在 $A D$ 边上运动，连结 $C P$ ，过点 $D$ 作 $D G ⊥ C P$ ，垂足为点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，与矩形 $A B C D$ 的边交于点 $G$ ．

(1)、 $A C =$ ________；

(2)、当点 $A$ 、 $E$ 两点之间的距离最小时，求 $A E$ 的最小值；

(3)、当 $D G$ 将矩形 $A B C D$ 的面积分割成 $3 : 5$ 的两个部分时，求 $D P$ 的长；

(4)、当 $△ C D F$ 为等腰三角形时，直接写出 $D P$ 的长．

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17、【推理证明】（1）如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ D = 90^{\circ}$ ，求证： $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点共圆．小明认为：连接 $A C$ ，取 $A C$ 的中点 $O$ ，连接 $O B$ 、 $O D$ 即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程；
【尝试应用】（2）如图②，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A B$ 上任意一点，连接 $D E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，请利用无刻度的直尺与圆规在线段 $C F$ 上确定点 $P$ ，使 $△ D E P$ 是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若 $A B = 3$ ， $B E = 2 A E$ ，求线段 $D P$ 的长．

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18、如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．

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19、长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 是边长为6的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是线段 $A B$ ， $A C$ 上的动点（不与端点重合），且 $B E = A F$ ， $B F$ 与 $C E$ 交于点 $P$ ，延长 $B F$ 交边 $A D$ （或边 $C D)$ 于点 $G$ ，连接 $O P$ ， $O G$ ．则下列结论：①菱形 $A B C D$ 的面积为 $18 \sqrt{3}$ ；② $△ A B F ≌ △ B C E$ ；③当 $B E = 2$ 时， $△ B O G$ 的面积与四边形 $O C D G$ 的面积比为 $1 : 3$ ；④当 $B E = 4$ 时， $B E : C G = 2 : 1$ ．其中正确的是（请填写序号）

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$x$	．．．	$- 2$	$- 1$	0	2	3	4	．．．
$y = \frac{1}{x - 1}$	．．．	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	．．．