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1、如图，已知 BD 是△ABC的角平分线，E是BD 延长线上的一点，且AE=AB.

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ C D B .$

(2)、若AB=6，BD=4，DE=5，求 BC的长.

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2、如图，在 $△ A B C$ 中，点 D，E，F分别在AB，AC，BC上， $D E ‖ B C ， D F ‖ A C ， \frac{A D}{D B} = \frac{2}{3} ，$ 已知四边形 DECF的面积为m，则. $△ A B C$ 的面积为.

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3、如图，矩形ABCD 的宽AB=5，若沿其长边对折后得到的矩形与原矩形相似，则长边BC的长为.

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4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，按图中虚线剪下的三角形与 $△ A B C$ 不相似的是( )

A、 B、 C、 D、

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5、如图，AB∥CD∥EF，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是( )

A、4.5 B、5 C、2 D、1.5

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6、[知识梳理]本题知识点：相似三角形的性质
①相似三角形的周长之比等于；②相似三角形的面积之比等于.

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7、如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD 于点F，CE平分 $∠ D C B$ 交AD 于点E，BF和CE 相交于点 P.

(1)、求证：AE=DF.

(2)、已知AB=4，AD=5.
①求 $\frac{P E}{P C}$ 的值.
②求四边形 ABPE 的面积与△BPC的面积的比值.

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8、[知识梳理]本题知识点：相似三角形的性质与判定
①三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②有对应相等的两个三角形相似；③对应成比例，且相等的两个三角形相似；④对应成比例的两个三角形相似；⑤相似三角形的对应角，对应边.

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9、如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.

(1)、求证：△ABE∽△DFA.

(2)、若AB=6，AD=12，AE=10，求 DF 的长.

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10、[知识梳理]本题知识点：比例的性质、比例中项
①比例的基本性质： $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ⇔(a，b，c，d都不为0)；②一般地，如果四条线段a，b，c，d中，有 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ，$ 那么四条线段a，b，c，d叫做，简称；③一般地，如果a，b，c满足比例式 $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ (或a：b=b：c)，则b叫做a，c的； $④ \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ ⇔；⑤如果点 P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB，使 AP>PB，且 $\frac{P B}{A P} = \frac{A P}{A B} ，$ 那么称线段 AB 被点 P ， $\frac{P B}{A P} = \frac{A P}{A B} =$ .

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11、已知：线段a=4 cm，b=9 cm，线段c是线段a，b的比例中项，则c为 cm.

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12、已知 P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP，且 $M P = (\sqrt{5} - 1) c m ，$ 则NP 等于( )

A、2cm B、 $(3 - \sqrt{5}) c m$ C、 $(\sqrt{5} - 1) c m$ D、 $(\sqrt{5} + 1) c m$

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13、已知 $\frac{x}{y} = \frac{5}{3} ，$ 则 $\frac{x - y}{y}$ 的值为( )

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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14、阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 和系数a，b，c有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，
∴ $m + n = 1 ， m n = - 1$ ．
则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、应用：一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ；

(2)、类比：已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为m，n，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值；

(3)、提升：已知实数s，t满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0 ， 2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ 且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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15、如图，老李想用长为 $70 m$ 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 $A B C D$ ，并在边 $B C$ 上留一个 $2 m$ 宽的门（建在 $E F$ 处，另用其他材料）．

(1)、当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 $m^{2}$ 的羊圈？

(2)、羊圈的面积能达到 $650 m^{2}$ 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

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16、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x - 3 m^{2} + m = 0$

(1)、求证：无论m为何值，方程总有实数根；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = - \frac{5}{2}$ ，求m的值．

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17、关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ ．

(1)、当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)、若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

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18、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

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19、如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为 $21 c m^{2}$ 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．

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20、定义新运算： $a \otimes b = \{\begin{matrix} a^{2} - b (a \leq 0) \\ - a + b (a > 0) \end{matrix}$ 例如： $- 2 \otimes 4 = (- 2)^{2} - 4 = 0$ ， $2 \otimes 3 = - 2 + 3 = 1$ ．若 $x \otimes 1 = - \frac{3}{4}$ ，则 $x$ 的值为．

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