相关试卷

七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下：

割、拼、补的过程

【初步应用】

（1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程$x\left(x+5\right)=6$配方的结果，则$m=$______；

【巩固应用】

（2）由图⑥方程$x\left(x+5\right)=6$配方可得______；

【综合应用】

（3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为a（$0<a<12$）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足$x_1\cdot x_2=2\left(x_1+x_2\right)$ ， 请求出a的值．

下面是馨馨同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．

任务：

（2）阅读材料：

若x满足$\left(210-x\right)\left(x-200\right)=-204$ ， 试求${\left(210-x\right)}^2+{\left(x-200\right)}^2$的值．

解：设$210-x=a$ ， $x-200=b$ ， 则$ab=-204$ ，

且$a+b=210-x+x-200=10$ ．

因为${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$ ，

所以$a^2+b^2={\left(a+b\right)}^2-2ab=102-2\times \left(-204\right)=508$ ，

即${\left(210-x\right)}^2+{\left(x-200\right)}^2$的值为508．

根据材料，请你解答下题：

若x满足${\left(2022-x\right)}^2+{\left(2020-x\right)}^2=4046$ ， 试求$\left(2022-x\right)\left(2020-x\right)$的值．

下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．

题目背景：在$\text{Rt}△ABC$中，$AC=BC$ ， $\angle ACB=90°$ ， 点$D$在$AB$上．

【作图探讨】（1）如图1，以$B$为圆心，$AD$为半径画弧，$C$为圆心，$CD$为半径画弧；两弧交于点$E$ ， 连接$BE$ ， $CE$；则$△CBE≌△CAD$ ．

选择填空：得出$△CBE≌△CAD$的依据是______（填序号）．

①$\text{SSS}$       ②$\text{SAS}$       ③$\text{ASA}$       ④$\text{AAS}$

【测量发现】如图2，在（1）中$△CBE≌△CAD$的条件下，连接$AE$ ． 兴趣小组用几何画板测量发现$△CAE$和$△CDB$的面积相等．为了证明结论，尝试延长线段$AC$至点$F$ ， 使$CF=CA$ ， 连接$EF$ ， 从而得以证明．请完成证明过程．

【迁移应用】（3）如图3，$AB=4$ ， $\angle ABM=\angle ACB=90°$ ， $AC=BC$ ， $\angle A=\angle ABC=45°$ ， 点$D$在$AB$上，$BD=1$ ， 在射线$BM$上是否存在点$E$ ， 使得$S_{△ACE}=S_{△BCD}$？若存在，请直接写出$BE$的长；若不存在，请说明理由．

请根据上述方案及其数据求出这个塔$MN$的高度．（结果精确到$\text{1m}$；参考数据：$\sin 54.5°\approx 0.81$ ， $\cos 54.5°\approx 0.58$ ， $\tan 54.5°\approx 1.40$）

【回顾】

（1）小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知$-1\mathrm{＜}x\mathrm{＜}2$ ， 设$y=x+1$ ， 那么y的取值范围是______．

【探究】

小明想：可以将研学作业单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目．

（2）由$-x+y=2$得$y=2+x$ ， 则$w=x+y-2=x+2+x-2=2x$ ．

由$x<3$ ， $y\ge 0$ ， 得关于x的一元一次不等式组：______，

解该不等式组得到x的取值范围为______，则w的取值范围是______．

【应用】

（3）已知$a-b=4$ ， 且$a\mathrm{＞}1\mathrm{，}b\mathrm{＜}2$ ， 设$t=a+b$ ， 求t的取值范围；

（4）已知$a-b=n$（n是大于0的常数），且$a\mathrm{＞}1\mathrm{，}b\le 1$ ， $2a+b$的最大值为______（用含n的代数式表示）．

八年级下册课本第64页中的“数学活动”——折纸引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．

【操作发现】

如图1，在矩形$ABCD$中，点$M$在边$AD$上，将矩形纸片$ABCD$沿$MC$折叠，使点$D$落在点$D^{\mathrm{\text{'}}}$处，$M{D}^{\mathrm{\text{'}}}$与$BC$交于点$N$ ． 根据以上操作，易得$\angle CMD=\angle CM{D}^{\mathrm{\text{'}}}$ ， 再结合矩形的性质，可得$\angle CMD=\angle MCN$ ， 进而得到$MN=CN$ ．

【初步应用】

如图2，继续将矩形纸片$ABCD$折叠，使$AM$恰好落在直线$M{D}^{\mathrm{\text{'}}}$上，点$A$落在点$A^{\mathrm{\text{'}}}$处，点$B$落在点$B^{\mathrm{\text{'}}}$处，折痕为$ME$ ．

（1）求证：$EC=2MN$ ．

（2）若$CD=2$ ， $MD=4$ ， 求$EC$的长．

【迁移探究】

如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作：

步骤一：对折正方形纸片$ABCD$ ， 使$AD$与$BC$重合，得到折痕$EF$ ， 把纸片展平．

步骤二：在$AD$上选一点$P$ ， 沿$BP$折叠，使点$A$落在正方形内部的点$M$处，把纸片展平，连接$PM$ ， $BM$ ， 延长$PM$交$CD$于点$Q$ ， 连接$BQ$ ．

（3）若正方形纸片$ABCD$的边长为$8\text{cm}$ ， $FQ=1\text{cm}$ ， 直接写出$AP$的长．