相关试卷

1、阅读材料：
（一）若关于 $a$ ， $b$ 的多项式 $3 (a^{2} - 2 a b + b^{2}) - (2 a^{2} - m a b + 2 b^{2})$ 中不含有 $a b$ 项，则 $m$ 的值为__________．
（二）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若 $a + b = 3, a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：∵ $a + b = 3, a b = 1$ ， ∴ ${(a + b)}^{2} = 9, 2 a b = 2, a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ ， ∴ $a^{2} + b^{2} = 7$ ．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）【类比应用】
①若 $x y = 8$ ， $x + y = 6$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为__________．
②若 $x (5 - x) = 6$ ，则 $x^{2} + {(5 - x)}^{2} =$ __________．
（2）【迁移应用】
①如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，分别以 $A C$ ， $B C$ 为边向直线 $A B$ 两侧作正方形 $B C F G$ ，正方形 $A E D C$ ，设 $A B = 8$ ，两正方形的面积和为40，求 $△ A F C$ 的面积．
②若 $(9 - x) (x - 6) = 2$ ，求 ${(9 - x)}^{2} + {(x - 6)}^{2}$ 的值．

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2、“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．

(1)、如图 $1$ 是由 $4$ 个长、宽分别为 $a$ ， $b$ 的长方形和 $1$ 个边长为 $(a - b)$ 的正方形拼成的一个大正方形，利用这个图形可以验证一个恒等式，这个恒等式是．

(2)、请利用图 $1$ 所得的恒等式，解决问题：
①若 ${(a + b)}^{2} = 5$ ， $a - b = 1$ ，求 $a b$ 的值；
②如图 $2$ ，点 $D$ 在线段 $C E$ 上，四边形 $A B C D$ ， $D E F G$ 都是正方形，连接 $B G$ ， $C G$ ， $E G$ ．若阴影部分的面积之和为 $10$ ， $△ C D G$ 的面积为 $3$ ，求 $C E$ 的长．

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3、嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下．
嘉嘉
我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元
淇淇
你肯定搞错了
设每支圆珠笔的价格为x 元．

(1)、请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了．

(2)、嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵 $m (0 < m < 6)$ 元，求出整数m的值．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 边上的一个动点，过点D作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，且 $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，在 $B C$ 边上取点F，使 $∠ D F C = 45 °$ ．

(1)、求证： $△ B C D$ 为等腰三角形；

(2)、过点D作 $D M ⊥ B C$ 于点M，若 $B C = 12 ， B F = 2$ ，求 $D M$ 的长．

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5、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 4, 3)$ ， $B (1, 2)$ ， $C (- 2, - 1)$ ．已知 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称．

(1)、作出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 内有一点 $P$ 的坐标为 $(m, n)$ ，则 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 内与点 $P$ 关于 $y$ 轴对称的点 $P_{1}$ 的坐标是．

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6、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $A D = E C$ ．求证： $△ A B D ≌ △ E D C$ ．

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7、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．

(1)、若 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，则边 $B C$ 的长度的取值范围是；

(2)、若 $∠ B = 60 °$ ， $∠ A D C = 100 °$ ，求 $∠ B A D$ 和 $∠ C$ 的度数．

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8、计算：

(1)、 $7 m^{2} \cdot m^{6} - m^{12} \div m^{4}$ ；

(2)、 $2 a (b - 2 a) + (2 a + b) (2 a - b)$ ．

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9、一个长方形的面积为 $9 a^{2} - 6 a b$ ，若它的长为 $3 a$ ，则它的宽为．

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10、如图，P是 $∠ A O B$ 内射线 $O C$ 上的一点， $P D ⊥ O A$ ， $P E ⊥ O B$ ，且 $P D = P E$ ，若 $∠ A O C = 24 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数是．

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11、分解因式： $2 a - 6 a b =$ ．

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12、若 $a = 2024 \times 2026$ ， $b = 2024^{2} + 2 \times 2024 + 1$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a = b - 1$ B、 $a = b$ C、 $a = b + 1$ D、 $a = b - 2024$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：① $A D = B D$ ；② $A F = B F$ ；③ $∠ B A F = ∠ C B E$ ；④ $D F ⊥ A B$ ．其中一定正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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14、如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的 $C D$ 部分的长度与支杆 $B C$ 相等，且 $∠ B C E$ $= 120^{\circ}$ ．若 $C D$ 的长度为 $60 cm$ ，则此时 $B ， D$ 两点之间的距离为（　　）

A、3 $0 cm$ B、6 $0 cm$ C、6 $5 cm$ D、7 $0 cm$

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15、如图 $1$ 是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图 $2$ 所示，为了测量其底部内径 $C D$ 的长，考古学家将两根细木条的中点 $O$ 固定在一起，则有 $△ A B O ≌ △ D C O$ ，因此量出的 $A$ ， $B$ 两点之间的距离即为 $C D$ 的长，其中判定三角形全等的依据是（）

A、 $HL$ B、 $SSS$ C、 $SAS$ D、 $AAS$

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16、若分式 $\frac{| x | - 2}{x - 2}$ 的值为 $0$ ，则求 $x$ 的值时应建立的式子是（）

A、 $| x | - 2 = 0$ B、 $| x | - 2 = 0$ 且 $x - 2 \neq 0$ C、 $x - 2 = 0$ D、 $| x | - 2 = 0$ 且 $x - 2 = 0$

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8 ， A C = 6 ， A D$ 为中线，则 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 的周长之差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、如图是贵州省境内的鸭池河大桥，其拉索、主梁和塔柱形成三角形结构，这样设计是利用了（）

A、三角形三条中线的交点是重心 B、两点之间，线段最短 C、等腰三角形三线合一 D、三角形的稳定性

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19、如图，已知 $△ A B C ≌ △ D E C$ ， $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ D + ∠ E$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $100 °$ C、 $120 °$ D、 $140 °$

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20、柔性玻璃通常是一种厚度介于 $20 ~ 50 μm$ 的超薄玻璃．我国已成功生产出用于高端折叠屏手机的 $30 μm$ 超薄柔性玻璃，其厚度约为 $0.00003 m$ ．数据 $0.00003$ 用科学记数法表示为（）

A、 $3 \times 10^{- 5}$ B、 $3 \times 10^{5}$ C、 $3 \times 10^{- 6}$ D、 $0.3 \times 10^{- 4}$

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嘉嘉	我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元
淇淇	你肯定搞错了