相关试卷

1、阅读材料并解答下列问题：

“整体思想”是中学数学的一种重要思想方法，运用其解决问题，可以使复杂问题简单化．我们知道， $5 x - 3 x + x = (5 - 3 + 1) x = 3 x$ ，类似地，我们把 $(a + b)$ 看成一个整体，则 $5 (a + b) - 3 (a + b) + (a + b) = (5 - 3 + 1) (a + b) = 3 (a + b)$ ．

(1)、把

(a - b)

看成一个整体，合并

4 (a - b) + 3 (a - b) - 2 (a - b)

的结果是．

(2)、已知

a - b = - 3, b - c = 2

，求代数式

{(a - b)}^{2} + 2 {(b - c)}^{2} - 3 {(a - c)}^{2}

的值．

(3)、把

(2 x - 1)

看成一个整体，运用“整体思想”解方程：

\frac{1}{3} (2 x - 1) + \frac{1}{6} (2 x - 1) = - \frac{1}{2} (2 x - 1) + 6

．

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2、【综合与实践】：根据表中的事件背景和素材，完成问题任务．

背景	中国“低空经济”作为战略新动能迅猛崛起，彰显高质量发展新活力．依托自主创新的科技突破，国产无人机正深度赋能社会治理与公共服务，以前沿技术切实提升人民生活品质．
素材1		我市某生态农业公司欲购进 $A$ ， $B$ 两种型号的植保无人机用来喷洒农药， $A$ 型机比 $B$ 型机平均每小时少喷洒2公顷农田， $A$ 型机喷洒 $40$ 公顷农田所用时间与 $B$ 型机喷洒 $50$ 公顷农田所用时间相等．
素材2	若该生态农业公司共购进 $20$ 架无人机， $A$ 型无人机5万元/架， $B$ 型无人机6万元/架．
问题解决
任务1	$A ， B$ 两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2	若公司要求这批无人机每小时至少喷洒 $180$ 公顷农田，那么该公司如何购买 $A$ 型和 $B$ 型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．

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3、兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告：

测量对象	兰州白塔山塔高
测量目的	1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神
测量工具	无人机、测角仪等
测量方案	1．先将无人机垂直上升至距水平地面 $50 m$ 的P点，测得白塔的顶端A的俯角为 $22 °$ ， 2．再将无人机沿水平方向飞行 $50 m$ 到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为 $45 °$ ．
测量示意图

请根据以上测量数据，求白塔 $A B$ 的高度．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $sin 22 ° \approx 0.4$ ， $cos 22 ° \approx 0.9$ ， $tan 22 ° \approx 0.4$ ）．

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4、综合与探究
数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺 $C O D$ 的直角顶点O放在直线 $A B$ 上，过点O作 $∠ B O C$ 平分线 $O E$ ．
【操作发现】
（1）“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值：
$∠ A O C$
$10 °$
$24 °$
$50 °$
$66 °$
$∠ D O E$
$5 °$
$12 °$
$25 °$
$33 °$
请依据上表，写出 $∠ A O C$ 与 $∠ D O E$ 的数量关系__________．
【思考论证】
（2）老师进一步提出了如下问题：当三角尺 $C O D$ 在直线 $A B$ 上方绕顶点O旋转时（ $O D$ 到达 $O B$ 边时停止旋转）， $∠ A O C$ 与 $∠ D O E$ 是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）“创新小组”又提出如下问题：将图1中 $∠ C O D$ 的边 $O C$ 与 $O A$ 重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（ $0 < t < 20$ ）， $O F$ 为 $∠ C O D$ 的角平分线，当 $∠ E O F = 30 °$ 时，求t的值．

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5、如图，在锐角三角形 $A B C$ 中， $A B < A C$ ， $A D$ 是角平分线， $D M ， D N$ 分别是 $△ A B D$ ， $△ A C D$ 的高，点E在 $D C$ 上，且 $D E = D B$ ，动点F在边 $A C$ 上（不包括两端点），连接 $F E ， F D$ ．
【问题感知】

(1)、填空： $D M$ $D N$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）；
【探究发现】

(2)、若 $∠ F E B = ∠ B$ ，小杰经过探究，得到结论： $∠ A F D = ∠ E F D$ ．请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】

(3)、若 $∠ F E B + ∠ B = 180 °$ ，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】

(4)、已知 $A B = 5$ ， $B M = 1$ ， $D M = 3$ ，若点E关于DF的对称点 $E^{'}$ 落在边AC上，连接 $D E^{'}$ ，请直接写出 $△ A E^{'} D$ 的面积．

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6、九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程．

(1)、实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为 $10 m$ ．隧道顶部最高处距地面 $6.25 m$ ，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式；

(2)、应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为 $0.5 m$ ．为了确保安全，问该隧道能否让最宽 $3 m$ ，最高 $3.5 m$ 的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由．

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7、定义：在 $Rt △ A B C$ 中，若斜边长为c，则称 $Rt △ A B C$ 是c系直角三角形．
例：如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，则称 $Rt △ A B C$ 是5系直角三角形．
【任务一：概念理解】①若 $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 是_____________系直角三角形；
②若 $△ A B C$ 是 $\sqrt{5}$ 系直角三角形， $A B = 1$ ，请在图2中画出一个满足条件的 $△ A B C$ ；
【任务二：实践应用】如图3，在以O为原点的平面直角坐标系中， $M (1, 1)$ ，点N在直线 $y = 2 x + 4$ 上， $Rt △ O M N$ 是以M为直角顶点的a系直角三角形，求a的值；
【任务三：拓展提升】已知 $D (- 1, - 1)$ ， $E (1, 3)$ ， $Rt △ D E F$ 是 $2 \sqrt{10}$ 系直角三角形，直线 $l : y = k x + b (k \neq 0)$ 上有且仅有两个满足条件的点F，请在图4中画出一个符合题意的 $Rt △ D E F$ ，并求出k所有可能的取值．

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8、综合与实践
【问题背景】为了对体育节 $4 \times 100$ 米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级 $10$ 个班，分男、女子组进行比赛．
【数据统计】
A．八年级男子组 $4 \times 100$ 米接力成绩统计如下：（单位：秒）
$55.7 、 54.7 、 56.5 、 55.5 、 56 、 56.3 、 54.4 、 56.4 、 56.6 、 54.9$
B．三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的箱线图如下：
【数据分析】
（1）箱线图中x的值为_____________；
（2）比较三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可）
发现：_______________________________________________________
原因：_______________________________________________________
【进阶分析】在 $4 \times 100$ 米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此 $4 \times 100$ 米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的 $100$ 米单项用时之和．
（3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中 $0 \leq x \leq 16$ ），已知当 $x = 8$ 时， $t = 1.0$ ；当 $x = 12$ 时， $t = 1.4$ ．并且接力比赛用时满足：
$4 \times 100$ 米接力成绩 $=$ 四人 $100$ 米单项时间总和 $-$ 三次交接棒总节约时间
①求t关于x的函数表达式；
②已知九（1）班四名选手的 $100$ 米单项用时总和为 $56.4$ 秒，则九（1）班 $4 \times 100$ 米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为 $\underset{˙}{y} \underset{˙}{=} \underset{˙}{k} \underset{˙}{x} \underset{˙}{+} \underset{˙}{b}$ 的形式）
③九（2）班四名男子选手的 $100$ 米单项用时总和比九（3）班快 $1.4$ 秒，但 $4 \times 100$ 米接力成绩比九（3）班慢 $1.3$ 秒，且两个班的交接棒训练时间之和为 $13$ 小时．求九（3）班的交接棒训练时长．

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9、2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中， $∠ G H N : ∠ F G E = 2 : 1$ ， $∠ H G F = 140 °$ ， $G E ∥ M N$ ．

(1)、求 $∠ G H M$ 的度数；

(2)、若 $G H ∥ D E$ ， $∠ A B C = 150 °$ ， $∠ B C E = 68 °$ ， $∠ G E C = 118 °$ ，求证： $G H ∥ A B$ ．

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10、如图，点M，N的坐标分别为： $M (- 2, 1)$ ， $N (6, 2)$ ．

(1)、请在网格中作出平面直角坐标系 $x O y$ ；

(2)、若第一象限内的点P到x轴的距离为4，且 $N P ∥ y$ 轴，请在图中描出点P，并写出点P的坐标；

(3)、在（2）的基础上，作出 $△ M N P$ ，再在图中画出 $△ M N P$ 关于x轴对称的图形 $△ M^{'} N^{'} P^{'}$ （点 $M^{'}$ ， $N^{'}$ ， $P^{'}$ 分别对应点M，N，P）．通过分析两个三角形对应点间的横、纵坐标之间的关系，你能得出什么结论？

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11、小明解关于x，y的二元一次方程组

\{\begin{array}{l} 4 x - 3 y = 9 ① \\ 3 x - 4 y = 5 ② \end{array}

时的过程如下：

第1步： $① - ②$ 得 $x - y = 4$ ③

第2步： $③ \times 3$ 得 $3 x - 3 y = 12$ ④

第3步： $① - ④$ 得 $x = - 3$

第4步：将 $x = - 3$ 代入③得 $- 3 - y = 4$ ，即 $y = - 7$

所以原方程组的解为 $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 7 \end{array}$

(1)、你认为小明的做法从第_____________步开始出现错误；

(2)、请写出正确的解法．

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12、定义两种新运算： $[a, b, c]$ 为 $a, b, c$ 的中位数； $(a, b, c)$ 为 $a, b, c$ 的算术平均数．
例如：①因为 $2 \leq 3 \leq 5$ ，所以 $[3, 2, 5] = 3$ ；② $(3, 4, 8) = \frac{3 + 4 + 8}{3} = 5$ ．
则函数 $y_{1} = [x + 2, - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}, - 2 x + 4]$ 与 $y_{2} = (3 x + 6, - x + 2, - 6 x + 12)$ 的交点坐标为．

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13、如图，直线 $y = - x + 4$ 与 $y = k x + b$ 的交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 4 \\ - k x + y = b \end{matrix}$ 的解为．

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14、外语节演讲比赛决赛共有三个环节：主题演讲、即兴问答和才艺展示，三个环节的成绩在综合成绩中的权重分别是 $40 %$ ， $50 %$ ， $10 %$ ，某同学三个环节的分数分别为90分，80分，85分，则该同学的综合成绩是分．

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15、说明命题“m的绝对值是正数”是假命题的反例是 $m =$ ．

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16、小明设想用电脑模拟台球游戏，为增加难度，约定：
①台球桌面设计为腰长为4的等腰 $Rt △ A O B$ ；
②小球撞击桌边后的反弹角等于入射角．
如图建立平面直角坐标系，小明希望球从点 $P (2, 0)$ 出发，撞击 $A B$ 边上的M点后反弹，再撞击 $O B$ 边上的点N反弹，最后回到点P．则M点的坐标为（）

A、 $(2, 2)$ B、 $(2.5, 1.5)$ C、 $(3, 1)$ D、 $(1.5, 2.5)$

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17、图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状．它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台．上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为 $22 .4cm$ ．已知配套吸管的长度为 $27 .6cm$ ，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为 $5cm$ （不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（）

A、 $3cm$ B、 $4cm$ C、 $6cm$ D、 $8cm$

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18、工厂为某活动生产一批纪念品，每套纪念品中包含了1个玩偶和2个钥匙扣．已知一共有9名工人参与制作，每人每天能制作玩偶20个或者钥匙扣50个，为了使生产的玩偶和钥匙扣刚好配套，设安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，根据题意列方程组正确的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 20 x = 50 y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 20 x = 2 \times 50 y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 2 \times 20 x = 50 y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 2 \times 50 x = 20 y \end{array}$

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19、若关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} x + 9 y = 4 k - 4 \\ 9 x + y = 6 k + 4 \end{array}$ 的解满足 $x + y = 3$ ，则k的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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20、如图，中间的直角三角形由三个正方形的顶点相连构成．则图中三个正方形的面积可能取值为（）

A、4，5，6 B、5，7，12 C、5，9，16 D、6，12，15

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$∠ A O C$	$10 °$	$24 °$	$50 °$	$66 °$
$∠ D O E$	$5 °$	$12 °$	$25 °$	$33 °$