相关试卷

1、根据以下素材，完成探索任务．

探索果园土地规划和销售利润问题
素材1	某农户承包了一块长方形果园 $A B C D$ ，图1是果园的平面图，其中 $A B = 200$ 米， $B C = 300$ 米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为 $2 x$ 米，左右两条纵向道路的宽度都为 $x$ 米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度 $2 x$ 不超过24米，且不小于10米．
素材2	该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1	解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．	（1）请直接写出纵向道路宽度 $x$ 的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2	解决果园种植的预期利润问题．（净利润 $=$ 草莓销售的总利润 $-$ 路面造价费用 $-$ 果园承包费用 $-$ 新苗购置费用 $-$ 其余费用）	（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．

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2、为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．

(1)、求豆沙粽和肉粽的单价；

(2)、超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元)．

豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A， B两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计) ，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙棕数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为( 80-4m)包，( 4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17 280元。求m的值

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3、为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率 $x$ ，根据题意，可列方程（　　）

A、 $200 (1 + 2 x) = 600$ B、 $200 {(1 - x)}^{2} = 600$ C、 $600 {(1 + x)}^{2} = 200$ D、 $200 {(1 + x)}^{2} = 600$

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4、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 $b^{2} - 4 a c$ 一定为完全平方数．现规定 $F (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程” $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ ，的两根均为整数，其“快乐数” $F (1, - 3, - 4) = \frac{4 \times 1 \times (- 4) - {(- 3)}^{2}}{4 \times 1} = - \frac{25}{4}$ ，若有另一个“快乐方程” $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“快乐数” $F (p, q, r)$ ，且满足 $r \cdot F (a, b, c) = c \cdot F (p, q, r)$ ，则称 $F (a, b, c)$ 与 $F (p, q, r)$ 互为“开心数”．

(1)、“快乐方程” $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的“快乐数”为；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0$ （ $m$ 为整数，且 $1 < m < 6$ ）是“快乐方程”，求 $m$ 的值，并求该方程的“快乐数”；

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + m + 1 = 0$ 与 $x^{2} - (n + 2) x + 2 n = 0$ （ $m$ 、 $n$ 均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求 $n$ 的值．

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5、定义：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）满足 $a - b + c = 0$ ，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则 $a$ 与 $c$ 的数量关系是．

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6、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $m < 0$ 且 $m \neq - 1$ B、 $m \geq 0$ C、 $m \leq 0$ 且 $m \neq - 1$ D、 $m < 0$

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7、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值是（　　）

A、 $k = 0$ B、 $k = 2$ C、 $k = 1$ D、 $k = - 1$

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8、定义：两根都为整数的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 称为“全整根方程，代数式 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 的值为该“全整根方程”的“最值码”，用 $Q (a, b, c)$ 表示，即 $Q (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ ，若另一关于 $x$ 的一元二次方程 $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 也为“全整根方程”，其“最值码”记为 $Q (p, q, r)$ ，当满足 $Q (a, b, c) - Q (p, q, r) = c$ 时，则称一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是一元二次方程 $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“全整根伴侣方程”．

(1)、“全整根方程” $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的“最值码”是．

(2)、若（1）中的方程是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + q x - 2 = 0$ 的“全整根伴侣方程”，求 $q$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x + m - 2 = 0$ 是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0$ （ $m, n$ 均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求 $m - n$ 的值．

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9、阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），如果 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数， $Δ$ 的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac-b²的值为该“友好方程”的“超强代码”，用 $Q (a, b, c)$ 表示，即 $Q (a, b, c) = 4 a c - b^{2}$ ；若另一关于x的一元二次方程px²+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为 $Q (p, q, r)$ ，当满足 $Q (a, b, c) - Q (p, q, r) = 4 c$ 时，则称一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程px²+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”．

(1)、“友好方程” $x^{2} - x - 6 = 0$ 的“超强代码”是；

(2)、关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0$ （m为整数，且 $4 < m < 15$ ）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；

(3)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x + m - 2 = 0$ 是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0$ （m ， n均为正整数，且m≠n）的“最佳搭子方程”，且 $x^{2} + (1 - m) x + m - 2 = 0$ 的一个根是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0$ 的一个根的2倍，求m和n的值.

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10、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 2) x + 3 (m - 1) = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，方程总有实数根．

(2)、若 $△ A B C$ 的两边 $A B ， A C$ 的长是这个方程的两个实数根，第三边 $B C$ 的长为 4 ，当 $△ A B C$ 是直角三角形时，求 $m$ 的值．

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11、将关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q$ ，就可以将 $x^{2}$ 表示为关于 $x$ 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x - q) = \dots$ ，我们将这种方法称为 “降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”，已知： $x^{2} - x - 1 = 0$ ，且 $x > 0$ ，则 $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1$ 的值为.

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12、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ ，下列说法： $①$ 若 $m - 2 n = 1$ ，则方程一定有两个不相等的实数根； $②$ 若 $m^{2} - 2 n < 0$ ，则方程没有实数根； $③$ 若 $n$ 是方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，则 $m + n = - 1$ ； $④$ 若 $x = t (t \neq 0)$ 是方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，则 $x = \frac{1}{t}$ 是方程 $n x^{2} + m x + 1 = 0$ 的一个根．其中正确的是(　　)

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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13、对于代数式 $a x^{2} + b x + c$ ，若存在实数 $n$ ，当 $x = n$ 时，代数式的值也等于 $n$ ，则称 $n$ 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式 $x^{2}$ ，当 $x = 0$ 时，代数式等于0；当 $x = 1$ 时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作 $A$ ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则 $A = 0$ ．

(1)、代数式 $x^{2} - 12$ 的不变值是， $A =$ ．

(2)、说明：代数式 $2 x^{2} - x + 1$ 没有不变值；

(3)、已知代数式 $x^{2} - n x + n$ ，若 $A = 0$ ，求 $n$ 的值．

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14、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 4) x^{2} - (2 m - 1) x + m = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m$ 取满足要求的最小正整数时，求方程的解．

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15、关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围．

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16、如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙 $（ M N)$ ，用篱笆围成一个长方形花园。现有可用的篱笆长为60m（全部用完）。设AB的长为 $x m$ 。

(1)、如图1，用含 $x$ 的代数式表示BC的长。

(2)、如图1，当长方形花园ABCD的面积为 $400 m^{2}$ 时，求 $x$ 的值。

(3)、如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND ，构成长方形ABCD ，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成。长方形花园ABCD的面积可以为 $500 m^{2}$ 吗？如果能，求出 $x$ 的值；如果不能，请说明理由。

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向终点 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动，与此同时，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向终点 $C$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动．如果 $P$ ， $Q$ 分别从 $A$ ， $B$ 同时出发，当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时，两点停止运动．设运动时间为 $t s$ ．

(1)、填空： $B Q =$ $c m$ ， $P B =$ $c m$ ；（用含t的代数式表示）

(2)、当t为何值时， $P Q$ 的长度等于 $5 c m$ ？

(3)、是否存在t的值，使得四边形 $A P Q C$ 的面积等于 ${9 c m}^{2}$ ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

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18、金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为 $60 c m$ ，宽为 $50 c m$ 的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是 $4200 {c m}^{2}$ ，设纸边的宽为 $x （ c m)$ ，则x满足的方程是（　　)

A、 $（ 60 + x) （ 50 + x) = 4200$ B、 $（ 60 - 2 x) （ 50 - 2 x) = 4200$ C、 $（ 60 + 2 x) （ 50 + 2 x) = 4200$ D、 $（ 60 - x) （ 50 - x) = 4200$

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19、如图1，有一张长 $20 c m$ ，宽 $10 c m$ 的长方形硬纸片，裁去四个角的两个小正方形和两个小长方形（阴影部分）后，恰好折成如图2所示的有盖的长方体纸盒，且它的底面积是 $28 {c m}^{2}$ ．设纸盒的高为 $x c m$ ，则可列出方程为（　　）
图1 图2

A、 $(10 - 2 x) (20 - 2 x) = 28$ B、 $\frac{20 - 2 x}{2} \times (10 - 2 x) = 28$ C、 $(10 - x) (20 - x) = 28$ D、 $\frac{(20 - x) (10 - 2 x)}{2} = 28$

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20、如图，在一块长 $28 m$ 、宽 $10 m$ 的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是 $243 m^{2}$ ，设小路的宽度为 $x m$ ，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A、 $28 \times 10 - 28 x - 10 x = 243$ B、 $2 (28 - x + 10 - x) = 243$ C、 $(28 - x) (10 - x) + x^{2} = 243$ D、 $(28 - x) (10 - x) = 243$

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	豆沙粽数量	肉粽数量	付款金额
小欢妈妈	20	30	270
小乐妈妈	30	20	230