相关试卷

1、在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．【已有认识】由于 $\sqrt{2} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ ，由此得到在数轴上寻找 $\sqrt{2}$ 所表示的点的方法，如图①．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．

(1)、在图②中，每个小正方形的边长为1，画出顶点在格点的 $Δ A B C ，$ 其中 $A C = \sqrt{2} ， B C = 2 \sqrt{2} ， A B = \sqrt{10}$ ；

(2)、在图③中，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $A C$ 平行于 $y$ 轴， $B C$ 平行于 $x$ 轴，则 $A C =$ ___________． $B C =$ ___________．由此得到平面直角坐标系内 $A ， B$ 两点间的距离公式： $A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ；

(3)、应用平面内两点间的距离公式，求点 $M (5, - 7)$ ， $N (- 3, 8)$ 之间的距离．

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2、某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长为 $25 m$ 的云梯 $A B$ ，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离 $B C = 7 m$ ， $∠ D C E = 90 °$ ．当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑 $4 m$ 到 $A^{'}$ 位置上（云梯长度不改变），即 $A A^{'} = 4 m$ ，那么它的底部B在水平方向滑动到 $B^{'}$ 的距离 $B B^{'}$ 是多少？

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3、如图，在长方形 $O A B C$ 中， $O$ 为平面直角坐标系的原点，点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$ ．点 $C$ 的坐标为 $(0, b)$ ，且 $a ， b$ 满足 $\sqrt{a - 4} + |b - 6| = 0$ ，点 $B$ 在第一象限内，点 $P$ 从原点出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿着 $O - C - B - A - O$ 的线路移动．

(1)、 $a =$ ， $b =$ ，点 $B$ 的坐标为．

(2)、当点 $P$ 移动 $4$ 秒时，求出点 $P$ 的坐标；

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4、如图，一圆柱高 $8 cm$ ，底面半径为 $2 cm$ ，一只蚂蚁从点 $A$ 爬到点 $B$ 处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（ $π = 3$ ）

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5、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(- 2, 1)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(- 1, 2)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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6、如图，已知等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C = 25 cm$ ， $D$ 是腰 $A B$ 上一点，连接 $C D$ ，且 $C D = 24 cm ， B D = 7 cm$ ．

(1)、求证： $△ B D C$ 是直角三角形；

(2)、求 $A B$ 的长．

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7、若一个正数 $x$ 的两个平方根分别是 $2 m - 1$ 和 $2 - m$ ， $n$ 是8的立方根，求 $x$ 和 $n$ 的值．

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8、先化简，再求值： ${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} - (\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 2 \sqrt{a} \sqrt{b}$ ．其中 $a = 3 ， b = 4$ ．

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9、计算．

(1)、 $\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{50}$ ：

(2)、 $\sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{27} \times \sqrt{9} + |1 - \sqrt{3}|$ ；

(3)、 $2 \sqrt{2} - {(\frac{1}{3} )}^{- 1} - \sqrt{4} \times \sqrt{2} + {(π - 2025)}^{0}$

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10、 $2025$ 央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点 $C$ 的正西方向（点 $A$ 处）和正北方向（点 $D$ 处），且与点 $C$ 的距离分别为 $C D = 3$ 米， $A C = 9$ 米．甲、乙两个机器人分别从点 $A$ 、点 $D$ 同时出发，沿 $A B$ ， $D B$ 行走（ $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在同一条直线上），要求行走到点 $B$ 处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则 $B C$ 为米．

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11、比较大小： $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$ $\frac{1}{3}$ ．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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12、如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为 $a ， b$ ，那么 $a b$ 的值为（　　）

A、4 B、6 C、12 D、13

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13、在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点A，B，C，D，E，F按照规定的目标表示方法，目标点A，B的位置分别表示为 $(6, 120 °)$ ， $(3, 30 °)$ ，按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，其中表示正确的是（）

A、 $C (4, 180 °)$ B、 $D (90 °, 2)$ C、 $E (4, 330 °)$ D、 $F (1, 60 °)$

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14、下列各数 $3.14159$ ， $0.131131113 \dots$ （每相邻两个3之间依次多一个1）， $\sqrt{2} ， \frac{42}{7} ， \frac{3}{2}$ 中，无理数的个数为（　　）

A、3 B、4 C、5 D、2

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15、估计 $\sqrt{31}$ 的值（　　）

A、在3和4之间 B、在5和6之间 C、在6和7之间 D、在7和8之间

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16、下列说法正确的是（）

A、任何数都有平方根 B、每一个数的平方根都有两个 C、 $\sqrt[3]{8} = \pm 2$ D、9的算术平方根是3

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17、下列各点在第四象限的是（　　）

A、 $(2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(2, 0)$

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18、下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{0.2}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{7}}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{8}$

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19、下列各组数据中，是勾股数的是（）

A、0.6，0.8，1 B、1，2， $\sqrt{3}$ C、4，5，7 D、3，4，5

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20、如图，数轴上从左至右有A，B，C，D四个点，分别表示有理数a，b，c，d，点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数， $|b + 2| + {(28 - d)}^{2} = 0$ ．

(1)、 $c =$ ______， $d =$ ______， $b^{2} - a =$ ______；

(2)、数轴上的动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点D运动，设运动时间为t（ $t > 0$ ）秒．当点P运动到点C时，点Q从点D出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点D和点B之间往返运动，当点P运动到点D时，点Q的运动停止．
①求t为何值时，点P与点Q第一次相遇；
②求点Q一共运动了多少个单位长度，并求点Q停止运动时在数轴上所表示的有理数；
③在点Q第一次到达点B前，请直接写出点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长．

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