相关试卷

1、完成项目式学习：《观景拱桥的设计》．

《观景拱桥的设计》
项目背景	某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 $A B C$ ，其横截面如图所示：
任务1	建立模型：如何利用函数模型，刻画观景拱桥的横截面？	（1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点 $C (0 ， 5)$ ， $B (10 ， 0)$ （长度单位： $m$ ），直接写出抛物线的解析式：___________．
任务2	利用模型：如何铺设台阶地毯，保证观景拱桥的实惠性？	（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶（台阶横截面如图中黑色阴影所示）表面铺设一条完整的宽度为 $1.5 m$ 的地毯，地毯覆盖整个台阶表面，地毯的价格为 $20 元 / m^{2}$ ，求购买地毯需多少元？
任务3	利用模型：如何安装脚手架，保证脚手架的安全性？	（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”可看成矩形 $E F G H$ （ $H$ 、 $G$ 分别在抛物线的左右侧上）．已知“脚手架” $E F G H$ 的三边所用钢材长度为 $18. 4m$ （ $E F$ 是地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点 $E$ 与拱桥端点 $A$ 的距离．
任务4	分析计算：如何设计射灯位置，保障观景拱桥的采光性？	（4）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形之间的距离．为了美观，在距离点 $O$ 处12米的地面 $M$ 、 $N$ 处安装射灯，射灯射出的光线与地面成 $45 °$ 角，如图2所示，光线交汇点 $P$ 在拱桥 $O C$ 的正上方，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）

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2、操作与思考：（1）如图1， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $E$ 为 $△ A B C$ 外一点，连接 $B E$ ，并以 $B E$ 为边作等边 $△ B E F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．求证： $△ C B F ≌ △ A B E$ ；
迁移与运用：（2）如图2，点 $E$ 在等边 $△ A B C$ 内， $∠ B E C = 120 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ， $D E$ ．
①求证： $A E = 2 D E$
②若 $A E ⊥ E C$ ， $E D = 1$ ，则 $△ A B C$ 的边长为________．（直接写出）

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3、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $E$ 是边 $B C$ 的中点，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D A = 3 ， \frac{A B}{B C} = \frac{5}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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4、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上．

(1)、尺规作图：过点 $O$ 作 $A C$ 的垂线，垂足为 $E$ ，交劣弧 $\overset{⏜}{A C}$ 于点 $D$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作的图形中：若 $A C = 4 ， D E = 1$ ，求 $A B$ 的长．

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5、如图，在平面直角坐标系中， $△ O B C$ 的三个顶点均在格点上．

(1)、画出 $△ O B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称的图形 $△ O B^{'} C^{'}$ ；

(2)、写出点 $B^{'}$ 的坐标，并求出点 $B$ 在旋转过程中经过的路线的长度．

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6、解下列方程：

(1)、 ${(x + 3)}^{2} = 16$ ；

(2)、 $x (x + 2) = 2 (x + 2)$

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7、如图， $Rt △ A B C$ 的内切圆分别与 $A B$ 、 $B C$ 相切于 $D$ 点、 $E$ 点，若 $B D = 1 cm, A D = 4 cm$ ，则 $C E$ 的长为．

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8、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $a$ 的值是．

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9、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 3) x + k^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ．若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - 1$ ，则 $k$ 的值是（　　）

A、3 B、 $- 1$ C、3或 $- 1$ D、不存在

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10、用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，下列配方正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 0$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 2$

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11、如图， $A E$ 与 $B D$ 相交于点 $C$ ， $A C = E C$ ， $B C = D C$ ， $A B = 8 cm$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to B \to A$ 方向以 $2 cm / s$ 的速度运动，点 $Q$ 同时从点 $D$ 出发，沿 $D \to E$ 方向以 $1 cm / s$ 的速度运动，当点 $P$ 到达点 $A$ 时，P、Q两点同时停止运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t s$ ．

(1)、当点 $P$ 在 $A \to B$ 运动时， $B P =$ ；（用含 $t$ 的代数式表示）

(2)、求证： $△ A C B ≌ △ E C D$

(3)、当 $P$ ， $Q$ ， $C$ 三点共线时，求t的值．

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12、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (0, - 3)$ ，点 $B (1, 0)$ ．

(1)、求此二次函数的解析式．

(2)、当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，求二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的最大值和最小值．

(3)、点 $P$ 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $P Q ∥ x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $- m + 1$ ．已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合．
①当线段 $P Q$ 的长度随 $m$ 的增大而减小时， $m$ 的取值范围为________．
②当 $P Q \leq 5$ ，线段 $P Q$ 与二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （ $- 3 \leq x < \frac{1}{2}$ ）的图象有1个交点时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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13、如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4 cm$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线．动点 $P$ 从点 $C$ 出发以 $\sqrt{2} cm/s$ 的速度沿折线 $C D - D A$ 向终点 $A$ 运动．过点 $P$ 作 $P Q ⊥ B C$ 于点 $Q$ ，以 $P Q$ 为边向右侧作正方形 $P Q M N$ ．设正方形 $P Q M N$ 与 $△ A B C$ 重叠部分图形的面积是 $y {cm}^{2}$ ，点 $P$ 的运动时间为 $x s$ $(x > 0)$ ．

(1)、当点 $P$ 在线段 $C D$ 上运动时， $△ C P Q$ 的形状是________， $P Q =$ _______．（用含 $x$ 的代数式表示）．

(2)、当点 $N$ 落在边 $A B$ 上时，求 $x$ 的值．

(3)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

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14、下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】
如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 4$ ．将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B D$ ，连接 $C D$ ．求 $△ B C D$ 的面积．
解：过点 $D$ 作 $D E ⊥ C B$ 于点 $E$ ．
$∵ ∠ A C B = 90 °$ ， $∴ ∠ A + ∠ A B C = 90 °$ ，
$∵$ 边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转90°得到线段 $B D$ ，
$∴ ∠ A B D = 90 °$ ， $∴ ∠ A B C + ∠ D B E = 90 °$ ，
$∴ ∠ A = ∠ D B E$ ，又 $∵ ∠ A C B = ∠ E = 90 °$ ， $A B = B D$ ，
$∴ △ A B C ≌ △ B D E$ ， $∴ B C = D E = 4$ ， $∴ S_{△ B C D} = \frac{1}{2} B C \cdot D E = 8$ ．
【探究】
（1）如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 5$ ．将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B D$ ，连接 $C D$ ．求 $△ B C D$ 的面积．
（2）如图③，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 6$ ．将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转90°得到线段 $B D$ ，连接 $C D$ ． $△ B C D$ 的面积为________．
（3）如图④，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 45 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 7$ ．将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B D$ ，连接 $C D$ ．直接写出 $△ B C D$ 的面积．

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15、如图，点 $P$ 在 $⊙ O$ 外，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $P A$ ， $O A$ ．过点 $P$ 的直线与 $⊙ O$ 交于 $C$ 、 $B$ 两点，半径 $O D ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ， $A D$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．当 $P A = P F$ 时，解答下列问题．

(1)、 $P A$ 是否为 $⊙ O$ 的切线?请说明理由．

(2)、若 $F$ 是 $P B$ 的中点， $E F = 1.5$ ，则 $P C$ 的长为_____．

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16、如图，四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C$ ， $B D$ 互相垂直， $A C + B D = 10$ ．

(1)、若 $A C = 4$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是________．

(2)、当 $A C$ ， $B D$ 的长为多少时，四边形 $A B C D$ 的面积最大？

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17、已知反比例函数 $y = \frac{k}{2 x}$ 和一次函数 $y = 2 x - 1$ ，其中一次函数图象经过 $(a, b)$ ， $(a + 1, b + k)$ 两点．

(1)、求反比例函数的解析式：

(2)、如图，已知点 $A$ 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求 $A$ 点坐标；

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18、图①，图②均是 $5 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $E$ ， $O$ 均在格点上．图①中已画出四边形 $A B C D$ ，图②中已画出以 $O E$ 为半径的 $⊙ O$ ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

(1)、在图①中，确定四边形 $A B C D$ 的对称中心 $M$ ．

(2)、在图②中，画出经过点 $E$ 的 $⊙ O$ 的切线 $l$ ．

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19、一个扇形的弧长为 $10 πcm$ ，面积是 $120 {πcm}^{2}$ ，求扇形的半径和圆心角的度数．

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20、印度古算书中有这样一首诗“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，灵力活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 $\frac{1}{8}$ 的平方，另一队猴子数是 $12$ ，那么猴子总数是多少？

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